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Stato solido e cristallografia
Reticoli, diffrazione e struttura dei materiali cristallini.
In sintesi
- Pesando ogni atomo per la frazione che ricade dentro la cella: 1/8 ai vertici, 1/4 sugli spigoli, 1/2 sulle facce, 1 all’interno.
- Perché 0,74 è la frazione di spazio che sfere rigide identiche possono occupare nel modo più compatto possibile, realizzato dalle strutture FCC e HCP.
- Dalla direzione lungo cui gli atomi si toccano: spigolo nel cubico semplice (a=2r), diagonale di corpo nel BCC (a=4r/√3), diagonale di faccia nell’FCC (a=2√2·r).
- ρ = (Z·M)/(NA·a³), con Z atomi (o unità formula) per cella, M massa molare, NA numero di Avogadro e a in centimetri.
La cella elementare è il mattone che, ripetuto, costruisce l’intero cristallo. Saper contare gli atomi che le appartengono, calcolare il fattore di impacchettamento, collegare il parametro di cella al raggio atomico e ricavare la densità sono i calcoli fondamentali della cristallografia. Questi sei esercizi svolti li affrontano per i tre reticoli cubici più comuni (SC, BCC, FCC) e per un solido ionico, mostrando passo per passo ogni conversione di unità. Sono gli stessi calcoli che permettono di verificare un modello strutturale a partire da una misura di densità o di parametro reticolare.
Esercizio 1 — Atomi per cella nei reticoli cubici
Quanti atomi appartengono a una cella FCC e a una cella BCC, tenendo conto della condivisione tra celle vicine?
| FCC | 8 vertici + 6 facce |
|---|---|
| BCC | 8 vertici + 1 centro |
Soluzione passo per passo
Ogni atomo è condiviso secondo la sua posizione. Per la cella FCC:
ZFCC = 8·(1/8) + 6·(1/2) = 1 + 3 = 4
Per la cella BCC: Z = 8·(1/8) + 1 = 2. Quindi la cella FCC contiene 4 atomi, quella BCC 2, mentre il cubico semplice ne ha 1.
Esercizio 2 — Fattore di impacchettamento del FCC
Calcola la frazione di volume occupata dagli atomi in un reticolo FCC, dove gli atomi si toccano lungo la diagonale di faccia (a = 2√2·r).
| Atomi/cella | 4 |
|---|---|
| Contatto | diagonale di faccia: a = 2√2·r |
Soluzione passo per passo
L’APF è il volume dei 4 atomi diviso il volume della cella, sostituendo a = 2√2·r:
APF = 4·(4/3)πr³ / (2√2·r)³ = 0.7405
APF = 0.7405, cioè il 74%: il massimo impacchettamento possibile per sfere uguali, condiviso con l’HCP. Il restante 26% è spazio vuoto (vuoti ottaedrici e tetraedrici).
Esercizio 3 — Parametro di cella dal raggio atomico
Il rame è FCC con raggio atomico r = 128 pm. Calcola il parametro di cella a.
| r (Cu) | 128 pm |
|---|---|
| Reticolo | FCC |
Soluzione passo per passo
Nel FCC il contatto avviene lungo la diagonale di faccia, lunga 4r e pari a a√2:
a = 2√2·r = 2√2·128 = 362 pm
a = 362 pm, in ottimo accordo con il valore sperimentale del rame (≈ 361 pm). La piccola differenza dipende dal raggio metallico adottato.
Esercizio 4 — Densità del rame dalla struttura
Calcola la densità del rame sapendo che è FCC (Z = 4), M = 63.55 g/mol e a = 361,5 pm.
| Z | 4 |
|---|---|
| M | 63.55 g/mol |
| a | 361,5 pm = 3,615×10−8 cm |
Soluzione passo per passo
La densità teorica è la massa degli atomi nella cella diviso il volume della cella:
ρ = Z·M / (NA·a³) = (4·63,55)/(6,022×1023·(3,615×10−8)³) = 8.935 g/cm³
ρ = 8.935 g/cm³, vicinissimo al valore reale del rame (8,96 g/cm³). La concordanza conferma la struttura FCC.
Esercizio 5 — Raggio atomico in un reticolo BCC
Il ferro α è BCC con parametro a = 287 pm. Calcola il raggio atomico.
| a (Fe) | 287 pm |
|---|---|
| Reticolo | BCC: contatto lungo la diagonale di corpo |
Soluzione passo per passo
Nel BCC gli atomi si toccano lungo la diagonale di corpo, lunga 4r e pari a a√3:
r = √3·a/4 = √3·287/4 = 124.3 pm
r = 124.3 pm: il raggio metallico del ferro. Nota che il fattore geometrico cambia col reticolo (4r = a√3 nel BCC, 4r = a√2 nell’FCC).
Esercizio 6 — Densità di un solido ionico: NaCl
Il cloruro di sodio ha struttura tipo NaCl con 4 unità formula per cella e a = 564 pm. Calcola la densità (M = 58.44 g/mol).
| Unità formula/cella | 4 |
|---|---|
| M (NaCl) | 58.44 g/mol |
| a | 564 pm |
Soluzione passo per passo
Si applica la stessa formula, intendendo Z come numero di unità formula NaCl (ciascuna Na++Cl−) per cella:
ρ = (4·58,44)/(6,022×1023·(5,64×10−8)³) = 2.164 g/cm³
ρ = 2.164 g/cm³, in perfetto accordo con il valore misurato (2,165 g/cm³). Lo stesso metodo, con M e Z corretti, vale per qualunque cristallo.
Domande frequenti
Come conto gli atomi di una cella?
Pesando ogni atomo per la frazione che ricade dentro la cella: 1/8 ai vertici, 1/4 sugli spigoli, 1/2 sulle facce, 1 all’interno. Per il FCC si ottengono 4 atomi, per il BCC 2, per il cubico semplice 1.
Perché il fattore di impacchettamento massimo è 0,74?
Perché 0,74 è la frazione di spazio che sfere rigide identiche possono occupare nel modo più compatto possibile, realizzato dalle strutture FCC e HCP. Il restante 26% sono i vuoti interstiziali, importantissimi per leghe e composti.
Come collego il parametro di cella al raggio?
Dalla direzione lungo cui gli atomi si toccano: spigolo nel cubico semplice (a=2r), diagonale di corpo nel BCC (a=4r/√3), diagonale di faccia nell’FCC (a=2√2·r). Sbagliare direzione è l’errore più comune.
Qual è la formula della densità cristallografica?
ρ = (Z·M)/(NA·a³), con Z atomi (o unità formula) per cella, M massa molare, NA numero di Avogadro e a in centimetri. È il ponte fra struttura microscopica e proprietà macroscopica.
Perché la densità calcolata può differire da quella reale?
Per i difetti del cristallo (vacanze, dislocazioni), per l’incertezza sul raggio adottato e per la porosità del materiale reale. Una densità misurata più bassa di quella teorica segnala spesso vacanze o porosità.
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Avvertenza. Questo articolo ha finalità informative e divulgative e riflette la normativa vigente alla data di pubblicazione; le scadenze indicate possono essere modificate da provvedimenti successivi. Non sostituisce la verifica tecnica del singolo prodotto e del caso specifico. A cura della Redazione di ChimicaConforme.