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Stato solido e cristallografia
Reticoli, diffrazione e struttura dei materiali cristallini.
In sintesi
- Si leggono le intercette del piano con i tre assi in unità del parametro di cella, se ne prendono i reciproci e si riducono ai minimi interi.
- Che il piano è parallelo al corrispondente asse: l’intercetta è all’infinito e il suo reciproco è 0.
- Indica un’intercetta sul lato negativo dell’asse.
- Le parentesi tonde (hkl) indicano un piano; le parentesi quadre [hkl] indicano una direzione.
Gli indici di Miller (hkl) sono il linguaggio con cui si identificano i piani e le direzioni in un cristallo. Saperli ricavare dalle intercette e calcolare la distanza interplanare è indispensabile per interpretare la diffrazione e le proprietà anisotrope dei materiali. Questi sei esercizi svolti coprono la determinazione degli indici, i piani paralleli agli assi, gli indici negativi e il calcolo di dhkl in un reticolo cubico. Sono gli strumenti che, in diffrazione, permettono di assegnare ogni picco alla famiglia di piani che lo genera e di collegare la posizione del picco alla geometria della cella.
Esercizio 1 — Indici di Miller dalle intercette
Un piano taglia gli assi a x = 1, y = 1, z = 1 (in unità del parametro di cella). Quali sono i suoi indici di Miller?
| Intercette | (1, 1, 1) |
|---|
Soluzione passo per passo
Si prendono i reciproci delle intercette e si riducono ai minimi interi:
reciproci di (1,1,1) = (1,1,1) → piano (111)
Gli indici sono (111): il piano che taglia simmetricamente i tre assi, tipico delle facce ottaedriche e del piano più compatto nei reticoli FCC. Quando le intercette sono tutte unitarie i reciproci coincidono con esse e non serve alcuna riduzione: è il caso più semplice e va riconosciuto a colpo d’occhio.
Esercizio 2 — Un piano con un’intercetta frazionaria
Determina gli indici di un piano con intercette x = 1/2, y = 1, z = ∞ (parallelo all’asse z).
| Intercette | (1/2, 1, ∞) |
|---|
Soluzione passo per passo
Si prendono i reciproci: 1/(1/2) = 2, 1/1 = 1, 1/∞ = 0.
reciproci di (½, 1, ∞) = (2, 1, 0) → piano (210)
Gli indici sono (210). L’intercetta all’infinito conferma che il piano è parallelo all’asse z, da cui l’indice 0.
Esercizio 3 — Piani paralleli agli assi e indici negativi
Quali indici ha un piano parallelo agli assi y e z e che interseca x sul lato negativo a −1?
| Intercette | (−1, ∞, ∞) |
|---|
Soluzione passo per passo
I reciproci sono (−1, 0, 0). Un’intercetta negativa si indica con una barra sopra l’indice:
reciproci (−1, ∞, ∞) = (−1, 0, 0) → piano (1̅00)
È il piano (1̅00), parallelo alla faccia (100) ma sul lato opposto dell’origine. Insieme appartengono alla stessa famiglia {100}.
Esercizio 4 — Distanza interplanare in un cristallo cubico
In una cella cubica con a = 4 Å calcola le distanze interplanari dei piani (100), (110) e (111).
| a | 4 Å |
|---|
Soluzione passo per passo
Si usa la formula per il sistema cubico, dhkl = a/√(h²+k²+l²):
d100 = 4/√1 = 4 ; d110 = 4/√2 = 2.828 ; d111 = 4/√3 = 2.309 Å
Si ottiene d(100) = 4, d(110) = 2.828, d(111) = 2.309 Å. La distanza diminuisce all’aumentare degli indici.
Esercizio 5 — Quale piano ha la distanza maggiore
Fra i piani (100), (110), (111) e (210) di un cristallo cubico, quale ha la massima distanza interplanare e quale diffrange ad angolo più piccolo?
| Regola | d ∝ 1/√(h²+k²+l²) |
|---|
Soluzione passo per passo
La distanza è massima quando la somma dei quadrati è minima. Per (100) vale 1, per (110) vale 2, per (111) vale 3, per (210) vale 5:
d(100) = 4 > d(110) = 2.828 > d(111) = 2.309 > d(210) = 1.789 Å
Il piano (100) ha la distanza maggiore (4 Å) e, per Bragg, diffrange all’angolo più piccolo. I piani a indici bassi dominano la parte iniziale del diffrattogramma.
Esercizio 6 — Rapporto fra distanze interplanari
Calcola il rapporto fra le distanze interplanari dei piani (100) e (111) in un cristallo cubico e spiega perché non dipende dal parametro di cella.
| (100) | √1 |
|---|---|
| (111) | √3 |
Soluzione passo per passo
Poiché entrambe contengono lo stesso a, il rapporto si semplifica:
d100/d111 = √3/√1 = √3 = 1.732
Il rapporto vale 1.732 (=√3) per qualunque cristallo cubico: il parametro a si elide, restano solo gli indici. È il motivo per cui i rapporti dei sinθ nei diffrattogrammi identificano il reticolo indipendentemente dalle dimensioni della cella.
Domande frequenti
Come si ricavano gli indici di Miller?
Si leggono le intercette del piano con i tre assi in unità del parametro di cella, se ne prendono i reciproci e si riducono ai minimi interi. Il risultato, racchiuso tra parentesi tonde (hkl), identifica univocamente il piano e tutti quelli a esso paralleli.
Cosa significa un indice uguale a zero?
Che il piano è parallelo al corrispondente asse: l’intercetta è all’infinito e il suo reciproco è 0. Per esempio (100) è parallelo agli assi y e z.
E un indice con la barra sopra?
Indica un’intercetta sul lato negativo dell’asse. Si scrive con una barra sopra il numero (1̅ si legge «meno uno»). Piani come (100) e (1̅00) sono paralleli e appartengono alla stessa famiglia {100}, un insieme di piani equivalenti per simmetria.
Qual è la differenza fra (hkl) e [hkl]?
Le parentesi tonde (hkl) indicano un piano; le parentesi quadre [hkl] indicano una direzione. Nel sistema cubico la direzione [hkl] è perpendicolare al piano (hkl) con gli stessi indici.
Perché servono nella diffrazione?
Perché ogni picco di un diffrattogramma corrisponde a una famiglia di piani (hkl) e la sua posizione dipende da dhkl. Assegnare gli indici ai picchi (indicizzazione) è il passo che collega il diffrattogramma alla struttura del cristallo.
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Avvertenza. Questo articolo ha finalità informative e divulgative e riflette la normativa vigente alla data di pubblicazione; le scadenze indicate possono essere modificate da provvedimenti successivi. Non sostituisce la verifica tecnica del singolo prodotto e del caso specifico. A cura della Redazione di ChimicaConforme.