I 230 gruppi spaziali: assi elicoidali e piani di scorrimento

Le 32 classi descrivono la simmetria di un cristallo come se fosse un oggetto finito. Ma un cristallo è un reticolo infinito e periodico: per descriverlo davvero occorre aggiungere le traslazioni. Quando si combinano la simmetria puntuale e quella traslazionale nascono nuove operazioni — assi elicoidali e piani di scorrimento — e il conto finale è uno dei numeri più celebri della cristallografia: 230 gruppi spaziali.

Vediamo come la traslazione genera nuove operazioni, che cosa sono assi elicoidali e piani di scorrimento, perché i gruppi spaziali sono 230 e come si dividono in simmorfici e non simmorfici.

Dalla simmetria puntuale a quella spaziale

Un gruppo spaziale è l’insieme completo delle operazioni di simmetria di un cristallo infinito: comprende sia le operazioni puntuali (rotazioni, riflessioni, inversione) sia le traslazioni del reticolo, sia le loro combinazioni. Combinando le 32 classi con i 14 reticoli di Bravais e con le nuove operazioni che la traslazione rende possibili, si ottiene l’elenco esaustivo dei modi in cui la materia può ordinarsi periodicamente nello spazio. Ogni gruppo spaziale «contiene» una classe cristallina, ottenuta togliendo le traslazioni: è la sua proiezione puntuale.

Gli assi elicoidali

Il primo tipo di operazione «mista» è l’asse elicoidale, o asse a vite: combina una rotazione con una traslazione parallela all’asse di rotazione, come avviene avvitando una vite. Si indica con un numero seguito da un pedice, ad esempio 2₁, 4₁, 6₃. Il numero principale dà l’ordine della rotazione; il pedice indica di quanto si trasla a ogni passo, in frazioni della cella. Anche per gli assi elicoidali valgono gli stessi vincoli delle rotazioni proprie: sono ammessi solo gli ordini 1, 2, 3, 4 e 6.

vite n_q:   rotazione di 360°n + traslazione di qn della cella

In totale esistono 11 assi elicoidali cristallograficamente possibili: 2₁, 3₁, 3₂, 4₁, 4₂, 4₃, 6₁, 6₂, 6₃, 6₄, 6₅. Nella notazione internazionale un asse n_q ruota di 360°/n e trasla di q/n della distanza di ripetizione. Ad esempio un asse 2₁ ruota di 180° e trasla di mezza cella: ripetendolo due volte si ottiene una traslazione di una cella intera, com’è giusto che sia per chiudere la periodicità.

I piani di scorrimento

Il secondo tipo di operazione mista è il piano di scorrimento (glide): combina una riflessione su un piano con una traslazione parallela al piano stesso. Esistono diversi tipi a seconda della direzione e dell’entità della traslazione: i glide assiali (a, b, c), in cui si trasla di metà cella lungo un asse; il glide diagonale (n), con traslazione lungo una diagonale; il glide a diamante (d), tipico di strutture come il diamante, con traslazione di un quarto; e il più recente glide doppio (e). Mentre la riflessione semplice fa coincidere subito l’oggetto, nel glide occorre riflettere e poi scorrere.

Simmorfici e non simmorfici

I 230 gruppi spaziali si dividono in due famiglie. Quelli simmorfici si ottengono semplicemente collocando una classe cristallina sui punti di un reticolo, senza traslazioni «frazionarie»: sono 73. Quelli non simmorfici contengono invece almeno un asse elicoidale o un piano di scorrimento, cioè un’operazione che incorpora una traslazione frazionaria: sono 157. La somma 73 + 157 dà i 230 gruppi spaziali. La distinzione non è accademica: i gruppi non simmorfici impongono che certe riflessioni di diffrazione siano sistematicamente assenti, e proprio queste assenze sistematiche aiutano a identificare il gruppo spaziale di un cristallo ignoto.

Perché conta nella pratica

Il gruppo spaziale è l’informazione più condensata e potente che si possa avere su un cristallo: una volta noto, fissa tutte le posizioni equivalenti degli atomi e riduce enormemente il numero di parametri da determinare in un raffinamento strutturale. Per chi caratterizza materiali o principi attivi, identificare il gruppo spaziale corretto — anche grazie alle assenze sistematiche — è il passaggio chiave per ottenere una struttura affidabile. Capire come nascono i 230 gruppi, e che cosa siano assi elicoidali e piani di scorrimento, è la base per leggere e interpretare i risultati della diffrazione, argomento approfondito negli articoli del cluster.

Domande frequenti

Perché i gruppi spaziali sono 230?

Perché si contano tutti i modi distinti di combinare le 32 classi cristalline con i 14 reticoli di Bravais e con le operazioni che la traslazione rende possibili, cioè gli assi elicoidali e i piani di scorrimento. Questa combinazione esaustiva dà esattamente 230 gruppi spaziali, suddivisi in 73 simmorfici e 157 non simmorfici. Rappresentano tutti i possibili modi in cui la materia può ordinarsi periodicamente nello spazio.

Che cos’è un asse elicoidale?

È un’operazione di simmetria che combina una rotazione con una traslazione parallela all’asse, come l’avvitamento di una vite. Si indica con un numero e un pedice, ad esempio 2₁: il numero dà l’ordine della rotazione, il pedice la frazione di cella per cui si trasla a ogni passo. Esistono 11 assi elicoidali cristallograficamente ammessi, perché valgono gli stessi vincoli sugli ordini di rotazione (1, 2, 3, 4 e 6) delle rotazioni proprie.

Che cos’è un piano di scorrimento?

È un’operazione che combina una riflessione su un piano con una traslazione parallela al piano stesso. Esistono diversi tipi a seconda della direzione e dell’entità della traslazione: i glide assiali (a, b, c) con traslazione di metà cella, il glide diagonale (n), il glide a diamante (d) con traslazione di un quarto e il glide doppio (e). A differenza della riflessione semplice, qui occorre riflettere e poi scorrere.

Che differenza c’è tra gruppi simmorfici e non simmorfici?

I gruppi simmorfici (73 in totale) si ottengono collocando una classe cristallina sui punti di un reticolo senza traslazioni frazionarie. I gruppi non simmorfici (157) contengono invece almeno un asse elicoidale o un piano di scorrimento, cioè un’operazione con traslazione frazionaria. La distinzione è utile perché le operazioni non simmorfiche producono assenze sistematiche nelle riflessioni di diffrazione, che aiutano a identificare il gruppo spaziale.

A cosa servono le assenze sistematiche in diffrazione?

Servono a individuare gli assi elicoidali e i piani di scorrimento di un cristallo e quindi a determinarne il gruppo spaziale. Queste operazioni cancellano in modo regolare certe riflessioni: per esempio un asse 2₁ spegne metà delle riflessioni lungo una direzione. Osservando quali riflessioni mancano nel diagramma di diffrazione si risale alle operazioni traslazionali presenti, riducendo le possibilità fino a identificare il gruppo spaziale corretto.