Le 32 classi cristalline e i sistemi cristallini

Combinando gli elementi di simmetria puntuale in tutti i modi compatibili con un reticolo periodico si ottiene un risultato sorprendentemente piccolo e ordinato: esistono soltanto 32 classi cristalline, dette anche gruppi puntuali cristallografici. Ogni cristallo del mondo, per quanto complesso, appartiene a una sola di queste 32 famiglie di simmetria.

Vediamo come nascono le 32 classi, come si distribuiscono tra i 7 sistemi cristallini, perché 11 di esse sono centrosimmetriche e a cosa serve questa classificazione.

Che cos’è una classe cristallina

Una classe cristallina è l’insieme completo delle operazioni di simmetria puntuale che lasciano invariato un cristallo, considerando solo rotazioni, riflessioni e inversioni — cioè senza ancora introdurre le traslazioni del reticolo. Matematicamente, ogni classe è un gruppo puntuale: un insieme chiuso di operazioni che soddisfa le regole della teoria dei gruppi. Imponendo la compatibilità con la periodicità reticolare (solo assi 1, 2, 3, 4 e 6), il numero di gruppi puntuali possibili si riduce a esattamente 32.

Dai 7 sistemi alle 32 classi

Le 32 classi si raggruppano nei 7 sistemi cristallini, ciascuno caratterizzato dalla simmetria minima che lo definisce. È un punto spesso frainteso: un sistema cristallino non è definito dai rapporti tra gli spigoli della cella (lunghezze e angoli), ma dagli elementi di simmetria presenti. Può accadere che gli assi risultino accidentalmente in un rapporto particolare senza che la simmetria corrispondente sia davvero presente; solo l’analisi della struttura rivela il sistema corretto. Procedendo dal sistema meno simmetrico (triclino) al più simmetrico (cubico), si aggiungono via via assi e piani, e ogni sistema accoglie un certo numero di classi.

Le classi centrosimmetriche e le classi di Laue

Tra le 32 classi, 11 sono centrosimmetriche, cioè possiedono un centro di inversione, e si chiamano classi di Laue. Le altre 21 ne sono prive. Questa partizione ha un risvolto pratico fondamentale nella diffrazione: per la legge di Friedel, le immagini di diffrazione appaiono centrosimmetriche anche quando il cristallo non lo è. Ne consegue che la diffrazione a raggi X ordinaria distingue facilmente le 11 classi di Laue, ma non riesce a determinare direttamente se un cristallo possiede o no un centro di inversione: per quello servono tecniche o accorgimenti specifici.

11 (rotazionali) + 11 (centrosimmetriche) + 10 (non centrosimmetriche) = 32 classi

Come si costruiscono le 32 classi

Esistono diversi modi di ricavare le 32 classi. Uno parte dalle 11 classi puramente rotazionali (quelle che contengono solo rotazioni proprie); aggiungendo a queste un centro di inversione si ottengono 11 classi centrosimmetriche; da queste, infine, si individuano altre 10 sottoclassi non centrosimmetriche distinte dalle puramente rotazionali. La somma — 11 + 11 + 10 — restituisce le 32 classi. Ciò che conta per il chimico non è la procedura, ma il risultato: tutte le possibili simmetrie macroscopiche di un cristallo sono catalogate in modo esaustivo in questo elenco finito.

A cosa serve la classificazione

Sapere a quale classe appartiene un cristallo permette di prevedere molte sue proprietà. La simmetria della classe vincola, per il principio di Neumann trattato nell’articolo dedicato, la simmetria delle proprietà fisiche: ad esempio, i cristalli cubici risultano isotropi per le proprietà descritte da tensori del secondo ordine (le proprietà sono uguali in tutte le direzioni), mentre quelli di simmetria più bassa sono anisotropi. La classe cristallina è dunque il ponte tra la geometria del cristallo e il suo comportamento fisico.

Perché conta nella pratica

Per chi lavora con materiali cristallini, la classe cristallina è una sintesi potente: pochi simboli racchiudono tutta la simmetria macroscopica del cristallo e ne anticipano il comportamento. Riconoscere la classe aiuta a prevedere l’anisotropia di proprietà come conducibilità, suscettività o indice di rifrazione, a capire se un materiale può essere piezoelettrico o ferroelettrico e a interpretare correttamente i dati di diffrazione. È un livello di descrizione intermedio essenziale tra gli elementi di simmetria puntuale e i 230 gruppi spaziali, entrambi approfonditi negli articoli collegati.

Domande frequenti

Perché le classi cristalline sono esattamente 32?

Perché si contano tutti i modi di combinare le operazioni di simmetria puntuale (rotazioni, riflessioni, inversione) in modo compatibile con un reticolo periodico, cioè usando solo assi di rotazione di ordine 1, 2, 3, 4 e 6. Questo vincolo riduce gli infiniti gruppi puntuali possibili a soli 32. La loro enumerazione completa fu stabilita attorno al 1830, molto prima di conoscere la struttura atomica dei cristalli.

Che differenza c’è tra classe cristallina e sistema cristallino?

La classe cristallina è uno dei 32 gruppi puntuali; il sistema cristallino è uno dei 7 raggruppamenti in cui le classi si organizzano in base alla loro simmetria caratteristica. Più classi appartengono allo stesso sistema. È importante ricordare che il sistema è definito dalla simmetria presente, non dai rapporti tra spigoli e angoli della cella, che possono risultare in un rapporto particolare anche per caso.

Che cosa sono le classi centrosimmetriche o di Laue?

Sono le 11 classi cristalline che possiedono un centro di inversione. Si chiamano anche classi di Laue perché, in un esperimento di diffrazione, sono quelle che si riescono a distinguere. Per la legge di Friedel le immagini di diffrazione appaiono centrosimmetriche anche quando il cristallo non lo è, perciò la diffrazione ordinaria classifica un cristallo in una delle 11 classi di Laue ma non rivela direttamente la presenza del centro di inversione.

A cosa serve sapere la classe cristallina di un materiale?

Serve a prevederne le proprietà fisiche. La simmetria della classe impone, per il principio di Neumann, dei vincoli sulle proprietà tensoriali del cristallo: per esempio i cristalli cubici sono isotropi per molte proprietà, mentre quelli a simmetria più bassa sono anisotropi. Conoscere la classe permette anche di stabilire se un cristallo può essere piezoelettrico o ferroelettrico e di interpretare correttamente i dati strutturali.

Come si arriva alle 32 classi a partire dalla simmetria?

Un modo è partire dalle 11 classi che contengono solo rotazioni proprie; aggiungendo a esse un centro di inversione si ottengono 11 classi centrosimmetriche; da queste si individuano poi 10 ulteriori classi non centrosimmetriche distinte dalle prime. La somma 11 + 11 + 10 dà le 32 classi. Ciò che importa è il risultato: tutte le simmetrie macroscopiche possibili di un cristallo sono catalogate in questo elenco finito.