Modello atomico di Bohr: livelli di energia e righe spettrali

All’inizio del Novecento un problema imbarazzava i fisici: l’atomo di Rutherford, con gli elettroni che ruotano attorno al nucleo come pianeti, secondo la fisica classica avrebbe dovuto collassare in una frazione di secondo, irradiando energia di continuo. Il modello di Bohr taglia il nodo con un’idea audace: l’elettrone può stare solo su certe orbite permesse, ciascuna con un’energia ben precisa, e non irradia finché vi rimane. È il primo modello che spiega perché gli atomi emettono luce solo a certe lunghezze d’onda.

Vediamo che cosa propone il modello, come si calcolano le energie dei livelli, perché rende perfettamente le righe spettrali dell’idrogeno e dove invece smette di funzionare.

Il problema che Bohr doveva risolvere

Un elettrone che ruota attorno al nucleo è una carica accelerata; la fisica classica prevede che una carica accelerata irradi energia di continuo. Perdendo energia, l’elettrone dovrebbe spiraleggiare verso il nucleo in pochissimo tempo: l’atomo sarebbe instabile e non esisterebbe materia stabile. Eppure gli atomi esistono, e quando vengono eccitati emettono luce non in uno spettro continuo, ma in righe nette a lunghezze d’onda precise. Servivano nuove regole.

I postulati di Bohr

Il modello poggia su poche assunzioni nette. Primo: l’elettrone può occupare solo orbite «permesse», ciascuna con un’energia ben definita; le orbite intermedie sono vietate. Secondo: su un’orbita permessa l’elettrone non irradia, contrariamente a quanto vorrebbe la fisica classica — sono stati stazionari. Terzo: l’atomo assorbe o emette energia solo quando l’elettrone salta da un livello all’altro, e lo fa sotto forma di un singolo fotone.

L’energia dei livelli

Per l’atomo di idrogeno l’energia di ciascun livello dipende solo dal numero intero n, detto numero quantico principale. L’energia è negativa, perché l’elettrone è legato al nucleo, e si avvicina a zero al crescere di n:

E_n = − R_Hn²    (R_H ≈ 13,6 eV)

Il segno meno e la dipendenza da 1/n² hanno conseguenze importanti. Il livello più basso, n = 1 (lo stato fondamentale), è il più profondo, a circa −13,6 eV. I livelli si infittiscono salendo: il salto tra n = 1 e n = 2 è enorme, quelli tra livelli alti sono minuscoli. Quando n tende a infinito l’energia tende a zero: l’elettrone è ormai libero, e l’atomo è ionizzato. Proprio 13,6 eV è l’energia di ionizzazione dell’idrogeno dallo stato fondamentale.

Da dove vengono le righe spettrali

Quando l’elettrone scende da un livello superiore a uno inferiore, l’energia persa esce come un fotone di frequenza ben definita: la condizione di frequenza di Bohr lega la differenza di energia tra i livelli alla frequenza della luce emessa.

ΔE = E_finale − E_iniziale = hν

Poiché i livelli sono discreti, anche i salti possibili — e quindi i fotoni emessi — lo sono: ecco perché lo spettro dell’idrogeno è fatto di righe nette e non di una banda continua. I salti che finiscono su n = 1 formano la serie di Lyman (nell’ultravioletto), quelli che finiscono su n = 2 la serie di Balmer (nel visibile, le righe colorate classiche), quelli su n = 3 la serie di Paschen (nell’infrarosso). Tutte le righe seguono una stessa formula governata dalla costante di Rydberg, il cui valore sperimentale per l’idrogeno è circa 109 677 cm⁻¹.

Perché funziona solo per l’idrogeno

Il modello di Bohr riproduce con sorprendente precisione lo spettro dell’idrogeno e degli ioni idrogenoidi, cioè di qualunque atomo o ione che possieda un solo elettrone (He⁺, Li²⁺ e così via). Per questi sistemi basta inserire la carica nucleare Z e le energie diventano proporzionali a Z². Ma appena gli elettroni sono due o più, il modello crolla: non tiene conto della repulsione tra elettroni, e soprattutto poggia su orbite ben definite che, come si scoprirà di lì a poco con il principio di indeterminazione, non possono esistere. La meccanica quantistica sostituirà le orbite con gli orbitali, regioni di probabilità, ma la condizione di frequenza ΔE = hν e l’idea dei livelli discreti resteranno.

Domande frequenti

Che cos’è il modello atomico di Bohr?

È un modello del 1913 in cui l’elettrone può stare solo su certe orbite permesse, ciascuna con un’energia fissa, e non irradia finché vi rimane. L’atomo assorbe o emette energia — sotto forma di un fotone — solo quando l’elettrone salta da un livello all’altro. È il primo modello che spiega perché gli atomi emettono luce a righe e non in modo continuo.

Perché le energie dei livelli sono negative?

Perché lo zero di energia è convenzionalmente fissato sull’elettrone libero, infinitamente lontano dal nucleo. Un elettrone legato all’atomo ha energia inferiore a quella dell’elettrone libero, quindi negativa. Più profondo è il livello (n piccolo), più negativa è l’energia. Quando l’energia arriva a zero, l’elettrone è libero e l’atomo è ionizzato.

Perché il modello funziona solo per l’idrogeno?

Perché assume un unico elettrone attorno al nucleo. Vale quindi per l’idrogeno e per gli ioni idrogenoidi (He⁺, Li²⁺…), che hanno un solo elettrone. Con due o più elettroni entra in gioco la repulsione tra di essi, che il modello ignora del tutto, e le previsioni diventano sbagliate. Per gli atomi polielettronici serve la meccanica quantistica.

Che cosa sono le serie di Lyman, Balmer e Paschen?

Sono gruppi di righe spettrali dell’idrogeno classificate in base al livello di arrivo del salto. La serie di Lyman raccoglie i salti verso n = 1 (ultravioletto), la serie di Balmer i salti verso n = 2 (visibile, le righe colorate), la serie di Paschen i salti verso n = 3 (infrarosso). Tutte seguono una stessa formula basata sulla costante di Rydberg.

Il modello di Bohr è ancora valido?

È superato dalla meccanica quantistica, che sostituisce le orbite ben definite con gli orbitali, regioni di probabilità. Resta però un modello didattico prezioso: introduce la quantizzazione dell’energia, la condizione ΔE = hν e l’idea dei salti tra livelli, concetti che la teoria moderna conferma. Per l’idrogeno fornisce le stesse energie dell’equazione di Schrödinger.