Reticolo cristallino e cella elementare: il mattone del cristallo

Se un cristallo contiene miliardi di miliardi di atomi disposti con ordine perfetto, come si fa a descriverlo senza impazzire? La risposta della cristallografia è elegante: si individua il «mattone» più piccolo che, ripetuto in modo regolare, ricostruisce l’intero edificio. Questo mattone è la cella elementare, e il modo astratto di rappresentare la ripetizione è il reticolo cristallino.

Vediamo che cos’è un reticolo, come si definisce la cella elementare con i suoi parametri, e come da questa descrizione minima si ricava persino la densità del materiale.

Il reticolo cristallino

Un reticolo cristallino è un’astrazione matematica: un insieme infinito di punti disposti regolarmente nello spazio, tale che l’ambiente visto da ciascun punto sia identico a quello di ogni altro. Su ogni punto del reticolo si «appoggia» un motivo — un atomo, uno ione, un gruppo di atomi o un’intera molecola — e la ripetizione del motivo lungo il reticolo genera la struttura cristallina reale. È utile tenere distinti i due concetti: il reticolo è la griglia di posizioni equivalenti, il motivo è ciò che si ripete su ogni posizione.

La cella elementare

La cella elementare è la più piccola porzione del cristallo che, traslata ripetutamente nelle tre direzioni dello spazio, riproduce l’intero reticolo. È individuata da un vertice di riferimento e da tre spigoli, descritti da tre lunghezze (i parametri reticolari a, b, c) e dai tre angoli compresi (α, β, γ). Questi sei numeri — tre lati e tre angoli — bastano a definire completamente la geometria della cella e quindi del cristallo.

Contare gli atomi nella cella

Sommando i contributi frazionari si ottiene il numero di unità formula Z contenute nella cella. In una struttura cubica a facce centrate, per esempio, gli 8 atomi ai vertici contano 8 × 1/8 = 1 e i 6 atomi sulle facce contano 6 × 1/2 = 3, per un totale di 4 atomi per cella. Questo numero è il ponte fra la scala atomica e le proprietà misurabili: conoscendolo, possiamo collegare la geometria della cella alla massa e quindi alla densità.

Dalla cella alla densità

Una delle conseguenze più utili di questa descrizione è il calcolo della densità teorica del cristallo a partire dai soli dati di cella. La massa contenuta nella cella è data dal numero di unità formula moltiplicato per la massa molare e divisa per il numero di Avogadro; il volume è quello della cella. Il rapporto dà la densità.

ρ = Z · MNA · Vcella

dove Z è il numero di unità formula per cella, M la massa molare, N_A il numero di Avogadro e V_cella il volume della cella elementare (per una cella cubica semplicemente a³). Il confronto tra la densità così calcolata e quella misurata sperimentalmente è un controllo prezioso: una densità misurata più bassa del previsto può rivelare la presenza di vacanze o di porosità nel materiale.

Perché conta nella pratica

La cella elementare è il linguaggio con cui si comunicano e si archiviano le strutture cristalline: ogni materiale cristallino noto è catalogato attraverso i parametri della sua cella. Per chi lavora in laboratorio o in produzione, capire questo concetto significa poter leggere una scheda strutturale, interpretare i dati di diffrazione (che misurano proprio le dimensioni della cella) e collegare la struttura a proprietà come densità, durezza ed espansione termica. È la base indispensabile per affrontare i sistemi cristallini, gli indici di Miller e la diffrazione, gli argomenti che svilupperemo nei prossimi articoli.

Domande frequenti

Che cos’è la cella elementare di un cristallo?

È la più piccola porzione del cristallo che, ripetuta per traslazione nelle tre direzioni dello spazio, ricostruisce l’intero reticolo. È definita da tre spigoli di lunghezza a, b, c e dai tre angoli α, β, γ tra di essi. Conoscere questi sei parametri equivale a conoscere la geometria di tutto il cristallo.

Qual è la differenza tra reticolo e struttura cristallina?

Il reticolo è l’insieme astratto dei punti equivalenti disposti regolarmente nello spazio; la struttura cristallina si ottiene appoggiando su ogni punto del reticolo un motivo (un atomo, uno ione o una molecola). In formula: struttura = reticolo + motivo. Lo stesso reticolo può ospitare motivi diversi, dando strutture diverse.

Perché gli atomi ai vertici contano per una frazione?

Perché sono condivisi tra più celle adiacenti. Un atomo al vertice di una cella cubica è in comune con 8 celle, quindi a ciascuna ne spetta 1/8; uno su una faccia è diviso tra 2 celle (1/2) e uno su uno spigolo tra 4 (1/4). Solo gli atomi interni appartengono per intero a una sola cella. Questo conteggio serve a sapere quante unità formula ci sono per cella.

Come si calcola la densità da un dato cristallografico?

Con la relazione ρ = Z·M/(N_A·V), dove Z è il numero di unità formula per cella, M la massa molare, N_A il numero di Avogadro e V il volume della cella. Per una cella cubica V = a³. È un calcolo molto usato: confrontare questa densità teorica con quella misurata permette di stimare vacanze e porosità.

Quanti parametri servono per descrivere una cella?

Sei: le tre lunghezze degli spigoli (a, b, c) e i tre angoli compresi (α, β, γ). A seconda delle relazioni e delle uguaglianze tra questi parametri, la cella appartiene a uno dei sette sistemi cristallini. Nel caso più simmetrico, quello cubico, basta un solo numero perché a = b = c e tutti gli angoli valgono 90°.