Approssimazione dello stato stazionario (QSSA): come si usa in cinetica

La maggior parte delle reazioni passa per uno o più intermedi reattivi: specie di vita cortissima che si formano e si consumano quasi contemporaneamente. Trattarne esattamente le equazioni differenziali è spesso proibitivo. L’approssimazione dello stato stazionario (QSSA, quasi-steady-state approximation) risolve il problema: considera costante la concentrazione dell’intermedio e trasforma un’equazione differenziale in un’equazione algebrica molto più semplice.

Vediamo il principio fisico, la procedura matematica formale, la condizione di validità, un esempio completo e il confronto con l’approssimazione dell’equilibrio rapido.

Il problema: gli intermedi in sistemi compositi

Consideriamo un meccanismo in cui A e B reagiscono a formare un intermedio C in modo reversibile, e C poi reagisce con D per dare il prodotto finale E. Il sistema di equazioni differenziali è accoppiato e non lineare: risolvere esattamente [A], [B], [C], [D], [E] come funzioni del tempo è molto più difficile che nel caso di uno stadio solo. L’osservazione chiave è che C è fortemente reattivo, quindi la sua concentrazione resta sempre molto bassa. Questa è la premessa della QSSA, formulata per la prima volta dal chimico tedesco Max Bodenstein nel 1913, con il nome originale tedesco Quasistationaritätsprinzip.

La procedura QSSA passo per passo

La procedura è sistematica. Primo, si identifica l’intermedio QSS: tipicamente una specie in concentrazione molto bassa rispetto ai reagenti, che si forma lentamente ma si consuma molto rapidamente. Secondo, si pone uguale a zero la derivata temporale della sua concentrazione. Terzo, dall’equazione algebrica risultante si ricava la concentrazione dello stato stazionario. Quarto, si sostituisce questa espressione nelle equazioni degli altri componenti, eliminando la variabile intermedia dal sistema.

d[C]/dt ≈ 0  ⇒  [C]_SS = k₁[A][B]k‑₁ + k₂[D]

Per il meccanismo A + B ⇌ C, poi C + D → E, la concentrazione stazionaria dell’intermedio C vale k₁[A][B]/(k‑₁ + k₂[D]). Sostituendola nella legge di formazione di E si ottiene una velocità che non contiene più [C]:

v = d[E]/dt = k₁[A][B]1 + k‑₁/(k₂[D])

Una conseguenza importante sottolineata nel trattamento classico del libro: misurando la velocità di E in funzione delle concentrazioni di A, B e D, si determina k₁ direttamente, ma non k‑₁ e k₂ separatamente, solo il loro rapporto. Questi due possono essere disaccoppiati solo se si riesce a seguire direttamente la concentrazione dell’intermedio C nel tempo, rinunciando alla QSSA.

Quando la QSSA è valida

La QSSA è un’approssimazione, non una legge esatta. Come mostra chiaramente il trattamento rigoroso, la derivata di [C]_SS rispetto al tempo non è identicamente zero: la concentrazione dello stato stazionario cambia nel tempo, ma molto più lentamente di quelle dei reagenti e dei prodotti. La condizione di validità è che l’intermedio si formi lentamente ma venga consumato molto rapidamente: se k–₁ + k₂[D] ≫ k₁ (cioè il consumo di C è molto più rapido della sua formazione), la QSSA è accurata. Nella pratica, questa condizione è soddisfatta tipicamente per i radicali e altri intermedi ad alta reattività.

QSSA vs approssimazione dell’equilibrio rapido

Esiste un’alternativa più restrittiva: l’approssimazione dell’equilibrio rapido (o dell’equilibrio veloce prima dello stadio lento). Si usa quando il primo stadio reversibile è molto più rapido del secondo: in quel caso l’intermedio è in quasi-equilibrio con i reagenti, e la sua concentrazione si ricava direttamente dalla costante di equilibrio del primo stadio. Il risultato è formalmente simile a quello della QSSA, ma più preciso nella situazione specifica in cui k‑₁ ≫ k₂[D]. La QSSA è più generale: vale anche fuori da questa condizione speciale, purché [C] resti piccola.

La QSSA e la cinetica di Michaelis-Menten

Il caso più famoso di applicazione della QSSA è quello della cinetica enzimatica. Un enzima E lega il substrato S formando il complesso ES (intermedio reattivo), che si decompone per dare prodotto P e rigenerare E. Applicando la QSSA a ES, si ricava la concentrazione stazionaria del complesso, si sostituisce e si ottiene la legge di Michaelis-Menten. La costante di Michaelis K_M non è altro che il rapporto (k‑₁ + k₂)/k₁ ricavato dalla QSSA applicata a ES. Ogni volta che un biochimico scrive la curva di saturazione di un enzima, sta usando il lavoro di Bodenstein del 1913.

Domande frequenti

Che cos’è l’approssimazione dello stato stazionario?

È l’ipotesi che la concentrazione di un intermedio altamente reattivo resti quasi costante durante la reazione, perché viene consumato non appena si forma. Matematicamente, si pone la derivata d[intermedio]/dt = 0, si ricava la concentrazione dall’equazione algebrica risultante e la si sostituisce nelle altre equazioni cinetiche per eliminarla.

Quando la QSSA è giustificata?

Quando l’intermedio è presente a concentrazione molto bassa rispetto ai reagenti e ai prodotti, perché si forma lentamente ma si consuma molto rapidamente. La condizione tecnica è che il denominatore nella formula di [C]_SS sia molto maggiore del numeratore. Questa situazione è tipica dei radicali, dei complessi enzimatici e di altri intermedi ad alta reattività.

Qual è la differenza tra QSSA e approssimazione dell’equilibrio rapido?

L’approssimazione dell’equilibrio rapido è più restrittiva: assume che lo stadio precedente all’intermedio sia in rapido equilibrio, e ricava la sua concentrazione dalla costante di equilibrio. La QSSA è più generale e si applica ogni volta che l’intermedio resta basso, indipendentemente dalle velocità relative dei singoli stadi.

Come si usa la QSSA per ricavare la legge cinetica complessiva?

In quattro passi: (1) si identifica l’intermedio; (2) si pone d[intermedio]/dt = 0; (3) si risolve algebricamente per la concentrazione dell’intermedio; (4) si sostituisce nella legge dello stadio che porta al prodotto finale. Il risultato è una legge cinetica che non contiene la concentrazione dell’intermedio, esprimibile in termini di soli reagenti.

Perché dalla misura della velocità non si riesce a ottenere k‑₁ e k₂ separatamente?

Perché nella legge complessiva questi due compaiono solo nel denominatore come somma k‑₁ + k₂[D], oppure come rapporto k‑₁/k₂. Per separare i due valori serve misurare la concentrazione dell’intermedio in funzione del tempo, ad esempio con tecniche spettroscopiche ultrarapide, che permettono di rinunciare alla QSSA e risolvere il sistema completo.