Celle elementari e reticoli di Bravais: i 7 sistemi e i 14 reticoli

Un cristallo è un solido in cui atomi, ioni o molecole sono disposti secondo uno schema che si ripete con regolarità nelle tre dimensioni. Per descrivere questa ripetizione non serve elencare miliardi di particelle: basta individuare il mattone che, traslato all’infinito, ricostruisce tutto il solido. Quel mattone è la cella elementare, e le sue forme possibili si riducono a soli sette sistemi cristallini e quattordici reticoli di Bravais.

Vediamo che cos’è il reticolo, come si definisce la cella elementare con i suoi parametri, quali sono i sette sistemi e i quattordici reticoli di Bravais, e come dalla cella si ricava una grandezza misurabile come la densità.

Reticolo, base e motivo: le definizioni

Il reticolo cristallino è un insieme infinito di punti disposti in modo periodico: ogni punto ha esattamente lo stesso intorno di tutti gli altri. È un’astrazione geometrica. Per ottenere il cristallo reale si associa a ciascun punto reticolare una base (o motivo), cioè l’atomo o il gruppo di atomi che si ripete. In sintesi: cristallo = reticolo + base. Distinguere i due concetti evita molti equivoci: il reticolo dice dove si ripete la struttura, la base dice che cosa si ripete.

I parametri di cella

Una cella elementare è completamente descritta da sei numeri: le lunghezze dei tre spigoli a, b, c e i tre angoli α (tra b e c), β (tra a e c) e γ (tra a e b). Questi sei parametri di cella fissano la forma del parallelepipedo. Le relazioni di uguaglianza o disuguaglianza tra essi — per esempio a = b = c con tutti gli angoli di 90° — sono ciò che distingue un sistema cristallino dall’altro.

I sette sistemi cristallini

In base ai vincoli sui parametri di cella, tutte le celle possibili si raggruppano in sette sistemi cristallini: cubico (a = b = c, tutti gli angoli 90°), tetragonale (a = b ≠ c, angoli 90°), ortorombico (a ≠ b ≠ c, angoli 90°), esagonale (a = b ≠ c, due angoli 90° e uno 120°), trigonale o romboedrico (a = b = c, angoli uguali ma diversi da 90°), monoclino (un solo angolo diverso da 90°) e triclino (nessun vincolo). È una gerarchia di simmetria decrescente: dal cubico, il più simmetrico, al triclino, il meno vincolato.

Dai sette sistemi ai quattordici reticoli di Bravais

I punti reticolari non stanno solo ai vertici della cella. Una cella può essere primitiva (P, punti solo ai vertici), a corpo centrato (I, un punto in più al centro del volume), a facce centrate (F, un punto al centro di ogni faccia) o a base centrata (C, un punto al centro di una coppia di facce opposte). Combinando i sette sistemi con i tipi di centratura geometricamente distinti, si ottengono esattamente quattordici reticoli di Bravais: non di più e non di meno, perché molte combinazioni sono ridondanti (descrivono lo stesso reticolo con una cella diversa) e vengono scartate. Sono i quattordici modi unici di riempire lo spazio con punti periodici.

La somma fa 3 + 2 + 4 + 1 + 1 + 2 + 1 = 14: i quattordici reticoli di Bravais.

Atomi per cella e densità teorica

Un atomo a un vertice della cella è condiviso da otto celle, quindi conta 1/8; uno su una faccia è condiviso da due celle e conta 1/2; uno su uno spigolo conta 1/4; uno interno conta 1. Sommando i contributi si ottiene il numero Z di unità di formula per cella. Da Z si ricava una grandezza misurabile, la densità teorica del cristallo:

ρ = Z · MNᴬ · V  (densità dalla cella)

dove M è la massa molare, Nᴬ il numero di Avogadro e V il volume della cella, calcolato dai parametri:

V = a · b · c  (cella ortogonale)  ·  V = a³ (cubica)

Confrontare la densità teorica così calcolata con quella misurata sperimentalmente è uno dei controlli di coerenza più usati per validare una struttura cristallina risolta: se i due valori coincidono, il modello del numero di atomi per cella è corretto.

Perché tutto questo conta

La scelta della cella e del reticolo non è un esercizio formale: determina la simmetria del cristallo e, con essa, molte proprietà fisiche, dalla risposta ottica all’anisotropia meccanica. È anche il linguaggio comune di tutta la cristallografia: quando una struttura viene depositata in una banca dati, è descritta proprio dal sistema cristallino, dal reticolo di Bravais, dai parametri di cella e dalle posizioni atomiche. Padroneggiare questi concetti è il primo passo per leggere e interpretare qualsiasi struttura solida, e per collegare l’ordine microscopico al comportamento macroscopico del materiale.

Esistono però solidi ordinati che sfuggono a queste regole, con simmetrie vietate ai cristalli periodici: i quasicristalli.

Domande frequenti

Che cos’è una cella elementare?

È il più piccolo parallelepipedo che, ripetuto per traslazione nelle tre direzioni dello spazio, ricostruisce l’intero cristallo. È definita da sei parametri: le lunghezze dei tre spigoli (a, b, c) e i tre angoli tra essi (α, β, γ). Conoscere la cella significa conoscere l’intera struttura periodica.

Quanti sono i sistemi cristallini?

Sono sette: cubico, tetragonale, ortorombico, esagonale, trigonale (romboedrico), monoclino e triclino. Ciascuno è definito da specifiche relazioni di uguaglianza tra i parametri di cella e dagli angoli, in ordine di simmetria decrescente dal cubico al triclino.

Perché i reticoli di Bravais sono esattamente quattordici?

Perché ai sette sistemi cristallini si aggiungono i possibili tipi di centratura (primitiva P, a corpo centrato I, a facce centrate F, a base centrata C), ma solo le combinazioni geometricamente distinte sopravvivono. Molte centrature in certi sistemi sono ridondanti, cioè descrivono un reticolo già ottenibile con una cella diversa, e vengono scartate: ne restano quattordici unici.

Qual è la differenza tra reticolo e cristallo?

Il reticolo è l’insieme astratto di punti periodici, che dice dove si ripete la struttura; il cristallo si ottiene associando a ogni punto reticolare una base, cioè l’atomo o il gruppo di atomi che si ripete. In formula: cristallo = reticolo + base. Lo stesso reticolo può ospitare basi diverse, dando cristalli diversi.

Come si calcola la densità di un cristallo dalla cella?

Si conta il numero Z di unità di formula per cella (sommando i contributi degli atomi: 1/8 ai vertici, 1/2 sulle facce, 1/4 sugli spigoli, 1 interni) e si applica ρ = Z·M / (Nᴬ·V), con M massa molare, Nᴬ numero di Avogadro e V volume della cella. Il confronto con la densità misurata convalida la struttura.