Conducibilità termica ed elettrica dei metalli

Conducibilità elettrica e conducibilità termica sono due facce della stessa medaglia: nei metalli sono gli stessi elettroni a trasportare carica e calore. Da questa unità nasce una delle relazioni più eleganti della fisica dello stato solido, la legge che lega il rapporto tra le due conducibilità alla sola temperatura attraverso una costante quasi universale.

Conducibilità elettrica: tempo di rilassamento e cammino libero medio

Nel modello a elettroni liberi la corrente nasce dallo spostamento d’equilibrio della sfera di Fermi sotto l’azione di un campo elettrico. Le collisioni con difetti e fononi riportano il sistema all’equilibrio in un tempo caratteristico τ, il tempo di rilassamento. La conducibilità risulta:

σ = n e² τm

dove n è la densità elettronica, e la carica elementare e m la massa dell’elettrone. Il cammino libero medio ℓ = v_Fτ è la distanza percorsa in media tra due collisioni: nei metalli puri a bassa temperatura può superare di molto la distanza interatomica, segno che gli elettroni “non vedono” il reticolo perfetto ma solo le sue imperfezioni.

Perché la resistenza aumenta con la temperatura

All’aumentare della temperatura crescono le vibrazioni reticolari, cioè il numero di fononi disponibili a diffondere gli elettroni. Più fononi significano collisioni più frequenti, tempo di rilassamento più breve e quindi resistività maggiore. A temperature molto basse, invece, la resistività tende a un valore costante dovuto alle sole impurezze e ai difetti: la cosiddetta resistività residua. Questa separazione tra contributo dei fononi e contributo delle impurezze è nota come regola di Matthiessen.

Conducibilità termica e legge di Wiedemann-Franz

Gli stessi elettroni che portano carica trasportano anche energia termica. La teoria cinetica fornisce per la conducibilità termica elettronica:

κ = 13 C_el v_F² τ

Combinando questa espressione con quella della conducibilità elettrica, i fattori cinematici si semplificano e si ottiene la celebre legge di Wiedemann-Franz: il rapporto tra conducibilità termica ed elettrica è proporzionale alla temperatura.

κσ = L · T

Il numero di Lorenz

La costante L che compare nella legge è il numero di Lorenz. Il calcolo quantistico, basato sulla statistica di Fermi-Dirac, fornisce un valore che dipende solo da costanti fondamentali:

L = π²3 (k_Be)² ≈ 2,44 × 10⁻⁸ W·Ω·K⁻²

Il fatto notevole è che questo valore è quasi indipendente dal particolare metallo: rame, argento, oro, alluminio danno tutti numeri di Lorenz molto vicini a quello teorico. È una conferma spettacolare dell’idea che siano gli elettroni liberi a trasportare insieme carica e calore.

Misurare la purezza di un metallo con il rapporto di resistenza residua

La separazione tra contributo dei fononi e contributo delle impurezze ha una conseguenza pratica preziosa. Si definisce il rapporto di resistenza residua come quoziente tra la resistività a temperatura ambiente e quella a temperatura prossima allo zero assoluto. Poiché il primo termine è dominato dai fononi e il secondo dalle sole impurezze e difetti, questo rapporto è una misura diretta della purezza e della perfezione cristallina del campione.

Un rame da laboratorio comune ha un rapporto di poche decine; un cristallo ultrapuro e ben ricotto può superare diverse migliaia. È per questo che i fisici dello stato solido usano il rapporto di resistenza residua come “carta d’identità” della qualità di un metallo, ben più informativo di una semplice analisi chimica. Lo stesso principio guida la scelta dei conduttori per i magneti superconduttori e per gli esperimenti a bassissima temperatura, dove ogni difetto introduce diffusione indesiderata. Vale la pena sottolineare che il rapporto si misura senza distruggere il campione e con strumentazione elettrica ordinaria: bastano una misura a temperatura ambiente e una in un bagno di elio liquido. Per questo è diventato lo standard industriale per certificare la qualità dei conduttori in rame e in alluminio destinati ad applicazioni di precisione.

Oltre a calore ed elettricità, i solidi possono ordinare i loro magneti atomici: è l’ordine magnetico nei solidi.

Domande frequenti

Perché i metalli sono buoni conduttori sia di elettricità sia di calore?

Perché in entrambi i casi il trasporto è affidato agli stessi elettroni liberi vicini alla superficie di Fermi. La loro elevata densità e mobilità rende efficienti sia il trasferimento di carica sia quello di energia termica.

Perché la resistenza di un metallo aumenta scaldandolo?

Scaldando il metallo aumentano le vibrazioni del reticolo, cioè i fononi. Gli elettroni urtano più spesso contro queste vibrazioni, il tempo di rilassamento si accorcia e la resistività cresce.

Cos’è la resistività residua?

È il valore limite della resistività a temperatura molto bassa, dovuto non ai fononi ma alle impurezze e ai difetti del cristallo. Più un metallo è puro e ordinato, più bassa è la sua resistività residua.

Cosa afferma la legge di Wiedemann-Franz?

Afferma che il rapporto tra conducibilità termica ed elettrica di un metallo è proporzionale alla temperatura assoluta, con una costante di proporzionalità (il numero di Lorenz) praticamente uguale per tutti i metalli.

Perché il numero di Lorenz è quasi universale?

Perché deriva solo dal rapporto tra la costante di Boltzmann e la carica elementare, entrambe costanti fondamentali. I dettagli del singolo metallo si semplificano nel rapporto tra le due conducibilità, lasciando un valore comune.