Fononi e capacità termica dei solidi

Se gli elettroni spiegano la conduzione, sono le vibrazioni del reticolo a governare gran parte della capacità termica di un solido. Queste vibrazioni, quantizzate, prendono il nome di fononi: pacchetti di energia vibrazionale che si propagano nel cristallo come onde elastiche. Capire i fononi significa capire perché il calore specifico di un solido cresce con il cubo della temperatura a basse temperature e si appiattisce su un valore universale a temperature elevate.

Il fallimento del modello classico e la legge di Dulong-Petit

La fisica classica prevede, per equipartizione, un contributo di 3k_B per atomo alla capacità termica, ossia 3R per mole. È la legge di Dulong-Petit, ben verificata a temperatura ambiente per molti solidi. Il problema è che a basse temperature il calore specifico crolla verso zero, cosa che l’equipartizione classica non sa spiegare. Serve quantizzare le vibrazioni.

Il modello di Einstein e il modello di Debye

Einstein per primo quantizzò le vibrazioni, assumendo che tutti gli atomi oscillino alla stessa frequenza. Il modello riproduce il crollo a basse temperature ma con un andamento esponenziale troppo ripido. Debye introdusse l’idea decisiva: i modi vibrazionali coprono uno spettro di frequenze, dalle onde acustiche a grande lunghezza d’onda fino a una frequenza massima di taglio. A questa frequenza massima si associa una temperatura caratteristica.

θ_D = ℏω_maxk_B

La temperatura di Debye θ_D separa due regimi: ben al di sopra di essa il solido si comporta classicamente (Dulong-Petit), ben al di sotto domina la fisica quantistica dei fononi.

La legge T cubo a basse temperature

Il risultato più celebre del modello di Debye è l’andamento del calore specifico reticolare a basse temperature:

C_V = 12π⁴5 N k_B (Tθ_D)³

Questa legge T cubo è verificata sperimentalmente con grande precisione e fornisce un metodo per misurare la temperatura di Debye di un materiale. Il motivo fisico è che a basse temperature si eccitano solo i fononi acustici a grande lunghezza d’onda, il cui numero cresce proprio come il cubo della temperatura.

Rami acustici e rami ottici

In un cristallo con più di un atomo per cella elementare le vibrazioni si dividono in due famiglie. I rami acustici corrispondono ad atomi che oscillano in fase, con frequenza che tende a zero per grandi lunghezze d’onda: sono le normali onde sonore. I rami ottici corrispondono ad atomi adiacenti che oscillano in opposizione di fase, hanno frequenze più alte e, nei cristalli ionici, possono accoppiarsi alla radiazione infrarossa. La distinzione spiega perché alcuni materiali assorbono fortemente nell’infrarosso.

Conduzione del calore e diffusione dei fononi

I fononi non determinano solo la capacità termica: negli isolanti sono anche i principali trasportatori di calore. In un cristallo perfetto le onde elastiche viaggerebbero indisturbate, ma due meccanismi le ostacolano. A basse temperature il calore viene limitato dalla diffusione ai bordi del campione e contro le impurezze; ad alte temperature domina la diffusione fonone-fonone dovuta all’anarmonicità del potenziale interatomico, cioè al fatto che la forza di richiamo tra gli atomi non è perfettamente lineare.

I processi che degradano davvero il flusso di calore sono quelli in cui la somma dei vettori d’onda dei fononi esce dalla prima zona e viene “ripiegata” indietro: senza questi processi la conducibilità termica di un cristallo perfetto sarebbe infinita. È questa anarmonicità a spiegare perché la conducibilità termica reticolare dei buoni isolanti diminuisce all’aumentare della temperatura, raggiungendo un massimo a temperature intermedie. Materiali con reticoli molto rigidi e atomi leggeri, come il diamante, sono eccellenti conduttori termici proprio grazie ai loro fononi veloci.

Domande frequenti

Cos’è esattamente un fonone?

È il quanto di energia di un modo normale di vibrazione del reticolo. Come il fotone è il quanto del campo elettromagnetico, il fonone è il quanto del campo vibrazionale del cristallo, con energia pari a ℏ volte la frequenza del modo.

Perché il calore specifico diminuisce a basse temperature?

Perché i modi vibrazionali ad alta frequenza richiedono troppa energia per essere eccitati: a basse temperature solo i fononi acustici a grande lunghezza d’onda sono attivi, e il loro numero cresce come il cubo della temperatura. Quindi anche la capacità termica reticolare scala come T cubo.

Che differenza c’è tra modello di Einstein e modello di Debye?

Einstein assume una sola frequenza di vibrazione per tutti gli atomi; Debye considera uno spettro continuo di frequenze fino a un valore massimo. Il modello di Debye riproduce correttamente la legge T cubo a basse temperature, cosa che il modello di Einstein non fa.

Cosa rappresenta la temperatura di Debye?

È la temperatura associata alla frequenza vibrazionale massima del cristallo. Materiali rigidi e leggeri, come il diamante, hanno temperature di Debye molto alte; materiali pesanti e teneri le hanno basse.

Qual è la differenza tra rami acustici e rami ottici?

Nei rami acustici gli atomi vicini oscillano in fase e la frequenza tende a zero per grandi lunghezze d’onda; nei rami ottici oscillano in opposizione di fase e mantengono una frequenza alta. I rami ottici sono importanti per l’assorbimento infrarosso dei cristalli ionici.