Diffrazione, piani reticolari e indici di Miller

Ogni picco di un diffrattogramma corrisponde a una famiglia di piani reticolari, individuata da una terna di numeri: gli indici di Miller (hkl). Capire come i piani (hkl) si traducono in picchi, e come la loro spaziatura d dipende dagli indici e dai parametri di cella, e cio che permette di indicizzare un pattern e di risalire alla struttura del cristallo.

Vediamo che cosa lega un picco a una famiglia di piani (hkl), come la distanza interplanare d dipende dagli indici, perche alcune riflessioni sono assenti e come tutto questo serve a indicizzare un diffrattogramma.

Da una famiglia di piani a un picco

Una famiglia di piani reticolari paralleli ed equidistanti e identificata dagli indici di Miller (hkl), che sono in sostanza i reciproci delle intercette dei piani sugli assi della cella. A ogni famiglia (hkl) corrisponde una distanza interplanare d_hkl, e quindi — via legge di Bragg — un angolo di diffrazione preciso. Il legame e diretto: ogni picco del diffrattogramma e l’eco di una specifica famiglia di piani. Gli indici di Miller, qui usati come etichette dei picchi, sono trattati in dettaglio nel pilastro dedicato; qui interessa il loro ruolo nella diffrazione.

La distanza interplanare in funzione degli indici

La spaziatura d_hkl dipende dagli indici (hkl) e dai parametri della cella elementare. Per il caso piu semplice, un reticolo cubico di lato a, la relazione e particolarmente compatta.

1d_hkl² = h² + k² + l²a²

Da qui si vede che, in un cubico, piani con indici piu alti hanno d piu piccolo e quindi diffrangono a angolo maggiore. Per sistemi meno simmetrici (tetragonale, ortorombico, fino al triclino) la formula si complica perche compaiono piu parametri di cella e gli angoli fra gli assi, ma il principio resta: nota la simmetria e i parametri, si calcola d_hkl per ogni (hkl), e con la legge di Bragg si prevede dove cadra ogni picco.

Riflessioni assenti: le estinzioni sistematiche

Non tutte le famiglie di piani producono un picco. A seconda di come gli atomi sono disposti nella cella, alcune riflessioni vengono cancellate per interferenza: sono le estinzioni sistematiche. In un reticolo cubico a corpo centrato (bcc), per esempio, compaiono solo le riflessioni con h+k+l pari; in uno cubico a facce centrate (fcc) solo quelle con h, k, l tutti pari o tutti dispari. Queste regole non sono un fastidio, anzi: la sequenza dei picchi presenti e assenti rivela il tipo di reticolo, ed e una delle prime informazioni che si estraggono indicizzando un diffrattogramma.

Indicizzare un diffrattogramma

Mettere insieme i pezzi significa indicizzare: assegnare a ogni picco osservato la sua terna (hkl) e, da li, ricavare il sistema cristallino, i parametri di cella e il tipo di reticolo. Si parte dagli angoli misurati, si convertono in d_hkl con la legge di Bragg, si cercano gli indici che riproducono quella sequenza di spaziature rispettando le estinzioni sistematiche. Per i casi cubici il calcolo e diretto; per sistemi a bassa simmetria si ricorre a programmi di indicizzazione. E il primo passo per passare da un pattern di picchi a una descrizione quantitativa della struttura cristallina.

Perche conta nella pratica

Il legame fra piani (hkl) e picchi e cio che trasforma un diffrattogramma da semplice impronta in una mappa della struttura. Indicizzare un pattern permette di determinare il sistema cristallino, i parametri di cella e il tipo di reticolo, e di seguirne le variazioni: la dilatazione termica, l’effetto di una soluzione solida, le tensioni di un film sottile si leggono nello spostamento dei picchi (hkl). Per chi caratterizza materiali, capire questa corrispondenza e la differenza fra leggere un diffrattogramma come una lista di angoli e leggerlo come la descrizione geometrica di un cristallo.

Domande frequenti

Che cosa lega un picco di diffrazione a una famiglia di piani?

Ogni famiglia di piani reticolari (hkl) ha una propria distanza interplanare d_hkl e, per la legge di Bragg, diffrange a un angolo preciso. Esiste quindi una corrispondenza diretta: ogni picco del diffrattogramma e prodotto da una specifica famiglia di piani. Assegnare a ogni picco la sua terna (hkl) e cio che si chiama indicizzazione del pattern.

Come dipende la distanza interplanare dagli indici di Miller?

Dipende dagli indici e dai parametri della cella. Per un reticolo cubico di lato a vale 1/d_hkl² = (h²+k²+l²)/a²: piani con indici piu alti hanno d piu piccolo e diffrangono a angolo maggiore. Per sistemi a simmetria piu bassa la formula coinvolge piu parametri di cella e gli angoli fra gli assi, ma il principio resta lo stesso.

Perche alcune riflessioni (hkl) sono assenti?

Per via delle estinzioni sistematiche: a seconda di come gli atomi sono disposti nella cella, alcune riflessioni si cancellano per interferenza distruttiva. In un reticolo a corpo centrato compaiono solo i picchi con h+k+l pari, in uno a facce centrate solo quelli con h, k, l tutti pari o tutti dispari. Queste assenze non sono un difetto, ma rivelano il tipo di reticolo.

Che cosa significa indicizzare un diffrattogramma?

Significa assegnare a ciascun picco osservato la sua terna di indici di Miller (hkl) e ricavarne il sistema cristallino, i parametri di cella e il tipo di reticolo. Si convertono gli angoli in distanze interplanari con la legge di Bragg e si cercano gli indici che riproducono quella sequenza rispettando le estinzioni sistematiche. E il primo passo verso la determinazione della struttura.

Si puo indicizzare un cubico a mano?

Si, ed e un controllo utile. Per un cubico vale sin²θ proporzionale a (h²+k²+l²): i rapporti fra i sin²θ dei picchi sono numeri interi, la cui sequenza distingue reticolo semplice, a corpo centrato e a facce centrate. Da li si ricava il parametro di cella a. Per sistemi a bassa simmetria conviene invece usare programmi di indicizzazione dedicati.