La legge di Bragg spiegata: nλ = 2d·sinθ

La legge di Bragg è l’equazione che lega l’angolo a cui i raggi X vengono diffratti da un cristallo alla distanza fra i suoi piani atomici. In una sola riga, nλ = 2d·sinθ, racchiude il principio su cui si reggono la diffrattometria di routine, la cristallografia strutturale e il controllo qualità dei materiali cristallini.

Vediamo come nasce l’interferenza costruttiva fra i raggi X riflessi, come si ricava la condizione di Bragg, che cosa significano concretamente la distanza interplanare d e l’angolo θ, e perché la relazione è cosi utile in laboratorio.

Cristallo e raggi X: una questione di scala

Un cristallo e un edificio ordinato: gli atomi occupano posizioni che si ripetono periodicamente, e si possono raggruppare in famiglie di piani paralleli ed equidistanti. La distanza fra due piani consecutivi di una stessa famiglia, chiamata distanza interplanare d, e dell’ordine di pochi decimi di nanometro. Per «vedere» queste distanze serve una radiazione con lunghezza d’onda confrontabile: i raggi X, con λ intorno a 0,1–0,2 nm, sono perfetti. Quando il fascio incide sul cristallo, ciascun piano si comporta come uno specchio debolissimo che ne riflette una piccola parte. Parlare di «riflessione» e in realta una semplificazione utile: il fenomeno e una diffusione coerente dei raggi X da parte degli elettroni di ogni atomo, che solo per famiglie di piani ben definite si somma in modo costruttivo. Il modello dei piani riflettenti di Bragg, pur essendo una scorciatoia geometrica, conduce esattamente alla stessa condizione e per questo e quello che si usa nella pratica quotidiana.

Interferenza costruttiva: il cuore del fenomeno

I raggi X riflessi da piani diversi percorrono cammini di lunghezza differente. Il raggio che si riflette su un piano piu profondo deve scendere e risalire, percorrendo un tratto in piu rispetto al raggio riflesso dal piano superiore. Se questa differenza di cammino e esattamente un numero intero di lunghezze d’onda, le onde riemergono in fase e si sommano: e l’interferenza costruttiva, che produce un fascio diffratto intenso. Se invece la differenza e una frazione qualsiasi di λ, le onde si sfasano e si annullano. Per questo la diffrazione avviene solo ad angoli ben precisi.

La derivazione geometrica

La differenza di cammino fra i due raggi riflessi da piani adiacenti separati da d si calcola con semplice geometria. Chiamato θ l’angolo fra il fascio incidente e il piano (angolo di Bragg), il tratto in piu vale 2d·sinθ. La condizione di interferenza costruttiva impone che questo tratto sia un multiplo intero di λ.

nλ = 2d·sinθ

Dove n e un intero (l’ordine di riflessione), λ la lunghezza d’onda dei raggi X, d la distanza interplanare e θ l’angolo di Bragg. La relazione e netta: fissata λ, a ogni famiglia di piani (cioe a ogni valore di d) corrisponde uno e un solo angolo θ a cui compare la diffrazione. Misurare quell’angolo significa misurare d.

Che cosa significano d e θ nella pratica

La distanza interplanare d e una proprieta geometrica del reticolo: dipende dalle dimensioni della cella elementare e da quale famiglia di piani si considera. L’angolo θ e cio che lo strumento misura. Poiche λ e nota (si usa una sorgente monocromatica, tipicamente la riga Kα del rame), dalla legge di Bragg si ricava d a partire dall’angolo osservato. Un picco di diffrazione a basso angolo corrisponde a piani molto distanziati (d grande); un picco ad alto angolo corrisponde a piani ravvicinati (d piccolo). Questa corrispondenza biunivoca fra angolo e spaziatura e cio che rende quantitativa l’intera tecnica.

Perche conta nella pratica

La legge di Bragg e lo strumento concettuale che trasforma un diffrattometro in uno strumento di misura quantitativo: dall’angolo di un picco si risale alla geometria del reticolo, e quindi all’identita di una fase cristallina, ai suoi parametri di cella, alle tensioni residue di un metallo. Per chi lavora nel controllo qualita dei materiali, capire da dove nasce ogni picco e indispensabile per interpretare correttamente un diffrattogramma e per non confondere artefatti strumentali con segnali reali. I passi successivi — ordini, intensita, allargamento dei picchi — sono trattati negli articoli collegati.

Domande frequenti

Che cosa afferma la legge di Bragg?

Afferma che i raggi X vengono diffratti da un cristallo solo ad angoli precisi, quelli per cui la differenza di cammino fra i raggi riflessi da piani atomici adiacenti, pari a 2d·sinθ, e un multiplo intero della lunghezza d’onda: nλ = 2d·sinθ. In quelle condizioni le onde riemergono in fase e danno interferenza costruttiva, producendo un fascio diffratto misurabile.

Perche servono proprio i raggi X?

Perche la loro lunghezza d’onda, dell’ordine di 0,1–0,2 nm, e confrontabile con la distanza fra i piani atomici di un cristallo. Una radiazione con lunghezza d’onda molto maggiore (luce visibile) non «vedrebbe» la periodicita del reticolo e non darebbe diffrazione. I raggi X sono quindi la sonda giusta per misurare distanze su scala atomica.

Che cosa rappresenta la distanza interplanare d?

E la distanza fra due piani atomici paralleli e consecutivi appartenenti alla stessa famiglia. Dipende dalle dimensioni della cella elementare e dall’orientazione dei piani considerati. Misurando l’angolo di un picco di diffrazione e applicando la legge di Bragg si ricava d, e dall’insieme dei valori di d si risale alla struttura del cristallo.

Perche la diffrazione avviene solo ad angoli precisi?

Perche solo a quegli angoli la differenza di cammino fra i raggi riflessi da piani diversi e un multiplo esatto della lunghezza d’onda, condizione per l’interferenza costruttiva. A tutti gli altri angoli le onde escono sfasate e si annullano per interferenza distruttiva. Per questo il diffrattogramma e fatto di picchi netti su un fondo basso, anziche di un segnale continuo.

L’angolo misurato dallo strumento e θ o 2θ?

Lo strumento misura 2θ, l’angolo fra il fascio incidente prolungato e il fascio diffratto. Nella legge di Bragg, pero, compare sinθ. Quando si converte la posizione di un picco in distanza interplanare bisogna quindi dividere a meta l’angolo letto sul diffrattogramma prima di applicare la formula, per non sbagliare il valore di d.