Legge di Laplace e pressione di curvatura

Dentro una bolla di sapone, dentro una goccia, dentro l’alveolo di un polmone la pressione è più alta che fuori. Questa sovrapressione, legata alla curvatura dell’interfaccia e alla tensione superficiale, è descritta dalla legge di Laplace: più piccolo è il raggio, più alta è la pressione interna.

Vediamo perché una superficie curva genera una differenza di pressione, qual è la forma generale e quella per una sfera, perché bolle e gocce si comportano diversamente e dove la legge si applica nella pratica.

Perché la curvatura genera pressione

Una superficie in tensione, se è curva, esercita una forza netta verso il proprio centro di curvatura, esattamente come la parete tesa di un palloncino spinge verso l’interno. Per mantenere l’equilibrio, la pressione dentro la regione concava deve essere più alta di quella esterna. La differenza di pressione cresce con la tensione superficiale (interfaccia più tesa) e diminuisce con il raggio (curvatura più dolce): è il cuore della legge di Laplace.

La forma generale

Una superficie qualsiasi si descrive con due raggi di curvatura principali, R₁ e R₂, misurati in due piani perpendicolari. La legge di Laplace, nella forma generale, lega la sovrapressione a entrambi.

ΔP = γ (1R₁ + 1R₂)

Per una superficie sferica i due raggi sono uguali (R₁ = R₂ = r) e la formula si semplifica nella versione più nota. Per un cilindro uno dei due raggi diventa infinito e il suo contributo si annulla, lasciando ΔP = γ/r: per questo un getto cilindrico di liquido è instabile e tende a frammentarsi in gocce, che minimizzano l’energia di superficie.

ΔP = 2γr  (goccia o bolla sferica)

Gocce e bolle: il fattore due

C’è una differenza importante fra una goccia e una bolla di sapone. Una goccia ha una sola interfaccia liquido-aria, quindi la sovrapressione è ΔP = 2γ/r. Una bolla di sapone ha invece due interfacce, quella interna e quella esterna del film, e la sovrapressione raddoppia: ΔP = 4γ/r. È per questo che gonfiare una bolla piccola richiede più pressione di una grande, e che, collegando due bolle, la più piccola si svuota nella più grande.

La condensazione capillare

La curvatura non cambia solo la pressione meccanica: altera anche la pressione di vapore di equilibrio del liquido, attraverso l’equazione di Kelvin, strettamente imparentata con quella di Laplace. Sopra un menisco concavo (liquido che bagna un poro stretto) il vapore condensa a una pressione inferiore a quella di saturazione: più il poro è piccolo, più bassa è l’umidità relativa a cui avviene la condensazione. Questo fenomeno, la condensazione capillare, spiega perché i materiali microporosi trattengono umidità e ne sta alla base la misura della distribuzione dei pori per adsorbimento di gas.

Dove conta la legge di Laplace

Gli esempi pratici sono numerosi: la pressione interna delle gocce in uno spray e la loro tendenza a frammentarsi, la coalescenza delle bolle in una schiuma (le piccole si svuotano nelle grandi), la stabilità delle emulsioni, il funzionamento dei polmoni, dove il surfattante polmonare abbassa la tensione superficiale degli alveoli più piccoli per impedirne il collasso. In tutti questi casi la chiave è la stessa: curvatura piccola, pressione grande.

Perché conta nella pratica

La legge di Laplace permette di prevedere e controllare i fenomeni di curvatura nei processi industriali: stabilità di schiume ed emulsioni, dimensione delle gocce in atomizzazione e spray drying, comportamento di porosi e materiali nanostrutturati, intrusione del mercurio nella porosimetria. Sapere che la sovrapressione scala con 1/r aiuta a capire perché le strutture piccole sono così diverse da quelle grandi e a progettare formulazioni e materiali tenendo conto della curvatura. È una delle relazioni fondamentali della scienza delle interfacce.

Domande frequenti

Che cosa afferma la legge di Laplace?

Afferma che attraverso un’interfaccia curva esiste una differenza di pressione proporzionale alla tensione superficiale e alla curvatura: ΔP = γ(1/R₁ + 1/R₂), che per una sfera diventa ΔP = 2γ/r. La pressione è più alta sul lato concavo e cresce al diminuire del raggio, per cui le gocce e le bolle piccole hanno pressioni interne elevate.

Perché una bolla di sapone ha sovrapressione doppia rispetto a una goccia?

Perché il film di sapone ha due interfacce, quella interna e quella esterna, mentre la goccia ne ha una sola. Ciascuna interfaccia contribuisce con 2γ/r, quindi la bolla raggiunge ΔP = 4γ/r. È il motivo per cui collegando due bolle la più piccola, a pressione più alta, si svuota dentro la più grande.

Perché un getto di liquido si rompe in gocce?

Perché un cilindro di liquido è instabile: piccole costrizioni hanno raggio minore e quindi pressione interna più alta secondo Laplace, e questo amplifica la perturbazione finché il getto si spezza. La frammentazione in gocce minimizza l’energia di superficie complessiva. È alla base del funzionamento degli atomizzatori e delle stampanti a getto d’inchiostro.

Che cos’è la condensazione capillare?

È la condensazione del vapore dentro un poro stretto a una pressione inferiore a quella di saturazione, dovuta alla curvatura del menisco. Secondo l’equazione di Kelvin, imparentata con la legge di Laplace, più il poro è piccolo più bassa è l’umidità a cui condensa. È sfruttata per misurare la distribuzione dei pori dei materiali tramite l’adsorbimento di gas.

Come si applica la legge di Laplace alla porosimetria a mercurio?

Il mercurio non bagna la maggior parte dei solidi, quindi per farlo entrare nei pori serve una sovrapressione tanto maggiore quanto più il poro è piccolo, come prevede la legge di Laplace. Misurando la pressione a cui il mercurio penetra si calcola il raggio dei pori. È una tecnica standard per caratterizzare la porosità dei materiali su un’ampia gamma di dimensioni.