Teoria cinetica dei gas: come il moto molecolare spiega pressione e temperatura

Le leggi dei gas dicono come si comporta un gas: se comprimi raddoppia la pressione, se scaldi si espande. La teoria cinetica molecolare spiega perché: tutto nasce da un’enorme folla di molecole che volano, urtano le pareti e si scambiano energia. È il ponte che lega il mondo microscopico (le molecole in moto) alle grandezze che misuriamo in laboratorio (pressione e temperatura).

Vediamo i postulati del modello, come da essi nasce la pressione, perché la temperatura è energia cinetica e che cosa significano velocità come la v_rms.

I postulati del modello cinetico

La teoria cinetica del gas ideale poggia su poche ipotesi semplici. Un gas è fatto di un numero enorme di molecole in moto continuo e disordinato. Il volume proprio delle molecole è trascurabile rispetto al volume del recipiente: per la maggior parte del tempo viaggiano nel vuoto. Tra una molecola e l’altra non ci sono forze di attrazione o repulsione, se non nell’istante dell’urto. Gli urti, sia tra molecole sia contro le pareti, sono perfettamente elastici: non si perde energia cinetica complessiva. Infine l’energia cinetica media delle molecole dipende solo dalla temperatura.

Da dove nasce la pressione

La pressione di un gas è il risultato di un bombardamento incessante: ogni molecola che colpisce una parete e rimbalza le trasferisce una piccola quantità di moto. Sommando i miliardi di miliardi di urti al secondo si ottiene una forza media costante per unità di superficie — appunto la pressione. Più molecole, più veloci, più spesso colpiscono la parete, maggiore è la pressione. Tradotto in formula, la teoria cinetica porta a un risultato centrale che lega la pressione P al numero di molecole N, alla loro massa m e alla media del quadrato delle velocità:

PV = 13 N m ‹v²›

Questa relazione è notevole: collega una grandezza macroscopica (PV) a una microscopica (la velocità quadratica media delle molecole). È la prima vera traduzione del moto molecolare in pressione misurabile.

La temperatura è energia cinetica

Il secondo grande risultato della teoria cinetica è che la temperatura assoluta misura l’energia cinetica media delle molecole. Per un gas monoatomico l’energia cinetica media di traslazione di una molecola vale:

‹E_k› = 32 k T

dove k è la costante di Boltzmann e T la temperatura assoluta (in kelvin). Questo spiega che cosa «sia» davvero la temperatura: non un fluido di calore, ma l’agitazione termica delle particelle. A T più alta le molecole si muovono mediamente più veloci e possiedono più energia; allo zero assoluto il moto traslazionale cesserebbe. Da notare che l’energia cinetica media dipende solo dalla temperatura, non dal tipo di gas: alla stessa T, una molecola di idrogeno e una di anidride carbonica hanno la stessa energia cinetica media (ma velocità molto diverse, perché hanno masse diverse).

Velocità quadratica media v_rms

Uguagliando l’energia cinetica media (3/2)kT all’espressione (1/2)m‹v²› si ricava la velocità quadratica media, cioè la radice della media dei quadrati delle velocità. Espressa con la costante dei gas R e la massa molare M, vale:

v_rms = √‹v²› = √(3RTM)

La formula racchiude due dipendenze cruciali. La v_rms cresce con la radice della temperatura: per raddoppiare la velocità tipica delle molecole bisogna quadruplicare la temperatura assoluta. E diminuisce con la radice della massa molare: a parità di temperatura, le molecole leggere sono molto più veloci di quelle pesanti. A temperatura ambiente una molecola di idrogeno viaggia in media a quasi 2 km/s, mentre l’ossigeno, sedici volte più pesante, va circa quattro volte più piano. È proprio questa dipendenza dalla massa a spiegare fenomeni come la diffusione e l’effusione.

Tre velocità caratteristiche a confronto

Dalla distribuzione delle velocità si possono definire tre grandezze tipiche, leggermente diverse tra loro ma tutte proporzionali a √(T/M):

L’ordine è sempre v_p < v̄ < v_rms: la distribuzione è asimmetrica, con una coda verso le alte velocità che «tira» la media verso destra. Tutte e tre, comunque, dipendono allo stesso modo da temperatura e massa, e raccontano la stessa storia: gas caldi e leggeri = molecole veloci.

Domande frequenti

Che cos’è la teoria cinetica molecolare dei gas?

È il modello che descrive un gas come un’enorme quantità di molecole in moto casuale e continuo, prive di interazioni reciproche, che urtano elasticamente le pareti del recipiente. Da queste poche ipotesi deduce, su base microscopica, le leggi macroscopiche dei gas e il significato di pressione e temperatura.

Perché un gas esercita pressione?

Perché le sue molecole colpiscono di continuo le pareti del recipiente e a ogni urto le trasferiscono quantità di moto. La somma di miliardi di urti al secondo si traduce in una forza media costante per unità di superficie, che è appunto la pressione. Più molecole, più veloci o più frequenti sono gli urti, maggiore è la pressione.

Che relazione c’è tra temperatura ed energia cinetica?

La temperatura assoluta è direttamente proporzionale all’energia cinetica media di traslazione delle molecole: E_k = (3/2)kT. La temperatura, quindi, è una misura dell’agitazione termica delle particelle. Allo zero assoluto il moto traslazionale cesserebbe.

Che cos’è la velocità quadratica media v_rms?

È la radice quadrata della media dei quadrati delle velocità molecolari e vale √(3RT/M). Fornisce una velocità «tipica» delle molecole del gas: cresce con la radice della temperatura e diminuisce con la radice della massa molare, per cui i gas leggeri sono molto più veloci di quelli pesanti alla stessa temperatura.

A parità di temperatura, gas diversi hanno la stessa velocità?

No. Alla stessa temperatura tutti i gas hanno la stessa energia cinetica media, ma non la stessa velocità: poiché E_k = (1/2)mv², le molecole più leggere devono muoversi più veloci per avere la medesima energia. L’idrogeno, leggerissimo, è molto più rapido dell’anidride carbonica alla stessa temperatura.