Equazioni cinetiche integrate: ordine zero, primo e secondo

La legge cinetica dice come la velocità dipende dalla concentrazione in un istante; ma in pratica serve sapere quanto reagente rimane dopo un certo tempo. Per rispondere si integra la legge cinetica, ottenendo le equazioni cinetiche integrate. Hanno un doppio uso: prevedere la concentrazione nel tempo e, soprattutto, determinare l’ordine di una reazione cercando quale grafico dà una retta.

Vediamo le forme integrate per ordine zero, primo e secondo, come si usano per identificare l’ordine e che cosa rappresentano la pendenza e l’intercetta.

Dalla velocità alla concentrazione nel tempo

La legge cinetica è un’equazione differenziale: lega la velocità (derivata della concentrazione) alla concentrazione stessa. Integrandola si ottiene la concentrazione in funzione del tempo, in una forma diversa per ogni ordine. Per il primo ordine, il caso più comune, la soluzione è:

ln[A] = ln[A]₀ − kt

cioè il logaritmo della concentrazione cala linearmente nel tempo, con pendenza −k. È la stessa matematica del decadimento radioattivo e dell’eliminazione di molti farmaci.

Le tre forme da conoscere

Per una reazione con un solo reagente, le forme integrate sono:

Ogni ordine corrisponde a una particolare combinazione di variabili che, messa in grafico, dà una retta. È il metodo grafico per determinare l’ordine.

Il trucco: quale grafico dà una retta?

Avendo i dati sperimentali di concentrazione contro tempo, si provano i tre grafici: [A] vs t, ln[A] vs t e 1/[A] vs t. Quello che risulta una retta identifica l’ordine della reazione. È uno dei test diagnostici più usati in cinetica, perché sfrutta tutti i punti sperimentali invece della sola velocità iniziale.

Che cosa leggo dalla retta

Una volta individuato il grafico lineare, la retta racconta tutto: la pendenza è legata alla costante cinetica k (vale −k per ordine zero e primo, +k per il secondo), mentre l’intercetta corrisponde alla condizione iniziale (ln[A]₀ per il primo ordine, 1/[A]₀ per il secondo). Da una sola regressione lineare si ricavano quindi sia l’ordine sia la costante cinetica: è il motivo per cui questo metodo è lo standard nei laboratori di stabilità e formulazione.

Un esempio: la degradazione di un farmaco

Immaginiamo di seguire la concentrazione di un principio attivo che si degrada nel tempo, raccogliendo dati a intervalli regolari. Proviamo i tre grafici: il diagramma di [A] contro t è una curva, quello di 1/[A] contro t pure, ma ln[A] contro t cade su una bella retta. Concludiamo che la degradazione è del primo ordine. La pendenza della retta vale −k: se misuriamo, per esempio, una pendenza di −0,03 giorni⁻¹, allora k = 0,03 giorni⁻¹ e il tempo di dimezzamento è 0,693/0,03 ≈ 23 giorni. Da questi due numeri possiamo prevedere quanta sostanza resta a qualunque tempo e stimare la data di scadenza del prodotto. È esattamente la procedura usata negli studi di stabilità farmaceutica e nei test di shelf-life accelerati.

Vale la pena sottolineare il vantaggio del metodo grafico rispetto al metodo delle velocità iniziali. Le velocità iniziali richiedono molte prove separate, ciascuna con la sua preparazione, e misurano la velocità solo all’inizio, quando l’errore sperimentale è spesso più grande. Il metodo integrato, invece, sfrutta un unico esperimento seguito nel tempo e usa tutti i punti raccolti: la qualità della retta — quanto i punti vi si allineano — diventa essa stessa una conferma che l’ordine ipotizzato è quello giusto. Per questo, quando è possibile seguire la reazione per un tempo sufficiente, l’approccio integrato è di solito il più affidabile e il più economico.

Domande frequenti

A che cosa servono le equazioni cinetiche integrate?

A due cose: prevedere quanta sostanza rimane (o si è formata) dopo un dato tempo, e determinare l’ordine di reazione dai dati sperimentali. Sono la versione «risolta nel tempo» della legge cinetica e sono lo strumento di base negli studi di stabilità e shelf-life.

Come uso le equazioni integrate per trovare l’ordine?

Metti i dati concentrazione-tempo nei tre grafici diagnostici: [A] vs t, ln[A] vs t e 1/[A] vs t. Il grafico che dà una retta indica l’ordine: lineare in [A] significa ordine zero, in ln[A] primo ordine, in 1/[A] secondo ordine. La pendenza della retta ti dà la costante cinetica k.

Che cos’è una reazione di pseudo-primo ordine?

È una reazione che in realtà coinvolge più reagenti, ma in cui uno è presente in tale eccesso da restare praticamente costante. La sua concentrazione si «assorbe» nella costante e la reazione si comporta come se fosse del primo ordine rispetto all’altro reagente. È un trucco sperimentale per semplificare l’analisi cinetica.

Che cosa rappresentano pendenza e intercetta?

La pendenza del grafico lineare è legata alla costante cinetica k (vale −k per ordine zero e primo, +k per il secondo ordine). L’intercetta corrisponde al valore iniziale della variabile: ln[A]₀ per il primo ordine, 1/[A]₀ per il secondo. Una sola regressione lineare fornisce quindi ordine e costante.

Perché il primo ordine è così comune?

Perché molti processi reali sono governati da un singolo stadio che coinvolge una sola molecola: decomposizioni, isomerizzazioni, decadimenti, molte degradazioni di principi attivi. Inoltre l’uso dell’eccesso di reagente (pseudo-primo ordine) riconduce a questa forma anche reazioni più complesse. La sua proprietà chiave è il tempo di dimezzamento costante.