La regola della leva nei diagrammi di fase binari

In un diagramma di fase binario (temperatura-composizione), quando un sistema si trova nella regione a due fasi, non basta sapere quali fasi coesistono: bisogna sapere in che proporzione. La regola della leva dà la risposta in modo elegante: la quantità di ciascuna fase è inversamente proporzionale alla distanza che la separa dalla composizione globale nella tie line. Come in una leva fisica, il baricentro sta tra i due «pesi».

Questa pagina spiega la derivazione, la formula, come si applica su un diagramma T-z e le conseguenze pratiche nelle leghe e nelle distillazioni industriali.

Il diagramma T-composizione e la tie line

In un sistema binario (due componenti A e B), il diagramma a due fasi più comune è quello temperatura-composizione (T-z), dove l’asse orizzontale è la frazione molare z di uno dei componenti e l’asse verticale è la temperatura. Due curve — la curva del liquido (liquidus) e la curva del vapore (vaporus) — delimitano la regione bifasica centrale. La regola delle fasi dice che in questa regione (P = 2, C = 2) F = 2: si possono variare T e z in modo indipendente.

A una data temperatura T* e composizione globale z* nella regione bifasica, le due fasi hanno composizioni diverse: la fase liquida ha composizione xᵽ (più ricca in B) e la fase vapore ha composizione yᵽ (più ricca in A). La tie line è la linea orizzontale che connette i due punti (xᵽ, T*) e (yᵽ, T*) sulle due curve.

La formula della regola della leva

Sia nᶷ il numero di moli della fase liquida e nᶼ il numero di moli della fase vapore. La conservazione della materia del componente A impone che la composizione globale zᵽ sia la media pesata delle composizioni delle due fasi. Algebricamente questo porta a:

nᶷ · lᶷ = nᶼ · lᶼ  ⇒  nᶷnᶼ = lᶼlᶷ

La lunghezza lᶷ è la distanza da xᵽ a z (quanto z dista dalla composizione del liquido); lᶼ è la distanza da z a yᵽ (quanto z dista dalla composizione del vapore). Il rapporto delle moli è inverso al rapporto delle lunghezze: se z è molto vicino alla curva del liquido, il sistema contiene quasi solo liquido (lᶼ grande, lᶷ piccolo, nᶷ grande).

Esempio numerico: sistema nitrobenzene-esano

Un esempio classico tratto dall’analisi sperimentale di sistemi liquido-liquido. Supponiamo di avere una miscela di composizione zᵽ = 0,41 (mole fraction di nitrobenzene) a una temperatura T*. La tie line taglia le curve di fase a xᵽ = 0,35 e yᵽ = 0,83. Le lunghezze dei segmenti sono:

• lᶷ = z* − xᵽ = 0,41 − 0,35 = 0,06
• lᶼ = yᵽ − z* = 0,83 − 0,41 = 0,42

La regola della leva dà nᶷ/nᶼ = lᶼ/lᶷ = 0,42/0,06 = 7,0. Il sistema contiene sette volte più fase ricca in esano che fase ricca in nitrobenzene. La tabella riassume:

Applicazioni industriali: leghe e distillazione

La regola della leva è uno strumento essenziale in metallurgia e in ingegneria di processo. Nelle leghe binarie (es. ferro-carbonio, rame-stagno per il bronzo), il diagramma di fase solido-liquido mostra la regione di coesistenza tra solido e liquido (zona pastosissima). La regola della leva dice immediatamente in che percentuale si trovano fase solida e fase liquida durante la solidificazione a una data composizione: informazione cruciale per controllare la microstruttura e le proprietà meccaniche del prodotto finale.

Nella distillazione frazionata, la composizione del vapore e del liquido in equilibrio si legge dalla tie line; la regola della leva dice quanta frazione del sistema è vapore e quanta è liquido. Man mano che il vapore viene rimosso, z si sposta verso la composizione del liquido e la proporzione delle fasi cambia di conseguenza. Seguire questa evoluzione lungo il diagramma è la base del calcolo dei «piatti teorici» di una colonna di distillazione.

È anche utile ricordare un caso limite: quando la composizione globale z coincide con uno degli estremi della tie line (z = xᵽ o z = yᵽ), uno dei segmenti si azzera e la regola della leva dice che il sistema è interamente in quella fase. È un modo per verificare graficamente i confini della regione bifasica.

Distillazione e regola della leva: connessione pratica

Il collegamento tra la regola della leva e la distillazione è diretto. In una colonna di distillazione frazionata, ogni piatto teorico rappresenta un equilibrio liquido-vapore: il vapore sale con la composizione data dalla curva del vapore, il liquido scende con la composizione della curva del liquido alla stessa temperatura. La regola della leva dice quanti moli di vapore si formano per ogni mole di liquido a ogni piatto.

Quando una miscela si trova nella zona bifasica del diagramma T-z, aumentare la temperatura a composizione globale fissa sposta z verso la curva del vapore (lᶼ diminuisce, lᶷ aumenta): la proporzione di vapore cresce continuamente. Al contrario, diminuire la temperatura sposta il sistema verso la curva del liquido. Questa è la base del calcolo della frazione vaporizzata (o «quality» in ingegneria chimica) e guida il progetto di evaporatori, condensatori e scambiatori bifasici.

Domande frequenti

Che cos’è la regola della leva nei diagrammi di fase?

È la relazione che lega le quantità (moli o masse) delle due fasi in equilibrio alla composizione globale del sistema. In un diagramma T-composizione binario, tracciata la tie line alla temperatura di interesse, le moli di ciascuna fase sono inversamente proporzionali alla distanza che la composizione globale z ha dall’estremo corrispondente a quella fase: nᶷ · lᶷ = nᶼ · lᶼ.

Come si calcola il rapporto delle due fasi in pratica?

Si traccia la tie line alla temperatura considerata e si leggono le composizioni degli estremi (xᵽ per la fase 1, yᵽ per la fase 2) e la composizione globale z. Si calcolano le due lunghezze: lᶷ = z − xᵽ e lᶼ = yᵽ − z. Il rapporto nᶷ/nᶼ = lᶼ/lᶷ. Se z è vicino a yᵽ, il denominatore lᶷ è grande e lᶼ è piccolo, quindi la fase 2 è poco abbondante.

Perché si chiama «regola della leva»?

Per analogia con una leva fisica: nella leva, le masse ai due estremi e le loro distanze dal fulcro soddisfano mᶅ lᶅ = mᵲ lᵲ per l’equilibrio. Nella regola della leva chimica, le «masse» sono le moli delle fasi e le «distanze dal fulcro» sono le distanze della composizione globale dagli estremi della tie line. La composizione globale z gioca il ruolo del fulcro.

La regola della leva vale solo per sistemi liquido-vapore?

No, vale per qualunque sistema bifasico: liquido-vapore, liquido-liquido parzialmente miscibili, solido-liquido (leghe), solido-vapore. L’unico requisito è che il sistema si trovi nella regione bifasica del diagramma e che si tracci la tie line corretta a quella temperatura. È uno strumento universale della termodinamica di fase.

Come cambia la composizione delle fasi se aumento la temperatura?

La tie line si sposta verso temperature più alte, e i suoi estremi si avvicinano finché coincidono al punto di ebollizione (o di fusione) del sistema con quella composizione. Mano a mano che la temperatura aumenta nella regione bifasica, la proporzione di vapore cresce e quella di liquido diminuisce, come indicato dalla regola della leva che si calcola per ogni tie line. Al di sopra della curva del vapore il sistema è tutto vapore.

Come si usa la regola della leva in metallurgia?

Nel diagramma ferro-carbonio (o in qualunque lega binaria), durante la solidificazione la regola della leva dice che frazione di materiale si trova allo stato solido e che frazione è ancora fusa a una data temperatura. Controllare questa proporzione durante il raffreddamento è fondamentale per ottenere la microstruttura voluta (rapporto ferrite/cementite, grani, inclusioni), che a sua volta determina durezza, tenacità e resistenza meccanica del prodotto finito.