Il gas ideale quantistico e il limite classico

La lunghezza d’onda termica di de Broglie Λ è la distanza
entro cui la natura ondulatoria di una particella si manifesta: se le particelle di un gas
distano meno di Λ l’una dall’altra, le loro funzioni d’onda si sovrappongono e
l’approccio classico crolla. Questo articolo mostra come si calcola Λ, quando un gas è
«classico» o «quantistico (degenere)», e quali correzioni quantistiche
si devono applicare all’equazione di stato.

La lunghezza d’onda termica di de Broglie

In un gas in equilibrio a temperatura T, una particella di massa m ha un’energia cinetica
media dell’ordine di k_BT. La lunghezza d’onda di de Broglie associata a quel momento
tipico prende il nome di lunghezza d’onda termica:

Λ = h√(2πmk_BT)  (lunghezza d’onda termica di de Broglie)

Λ dipende dalla massa e dalla temperatura. Ha dimensioni di una lunghezza e cala
come 1/√T al crescere della temperatura (le particelle più calde hanno momenti
maggiori e lunghezze d’onda più corte). Per gli elettroni (m ~ 10⁻³⁰ kg)
Λ a 300 K è dell’ordine dei nanometri; per atomi pesanti Λ è molto
minore. Questa è la grandezza che distingue il regime classico da quello quantistico.

Il criterio di degenerazione

Il parametro di degenerazione nΛ³ (densità di particelle per volume
di Λ³) discrimina i due regimi:

nΛ³ ≪ 1  →  gas classico   |   nΛ³ ≫ 1  →  gas degenere

Per un gas di elio-4 a pressione atmosferica il punto critico di degenerazione si trova
intorno a 3–4 K, in accordo con la transizione superfluida osservata a 2.17 K (punto lambda).
Per un gas di Ne o Ar, molto più pesanti, Λ è più corta e la
degenerazione richiede temperature ancora più basse.

La funzione di partizione del gas ideale quantistico

Per un gas di N particelle identiche indistinguibili (senza interazioni), la funzione di
partizione canonica corretta risulta:

ln Z = N ln VΛ³ − ln N!

Il termine −ln N! (correzione di Gibbs per l’indistinguibilità) è
l’impronta quantistica anche nella statistica classica: senza di esso l’entropia non sarebbe
estensiva. Questo stesso termine emerge naturalmente dal limite classico delle distribuzioni
di Fermi-Dirac e di Bose-Einstein, confermando la coerenza interna della teoria.

Gas di Fermi degenere

Quando nΛ³ ≫ 1 e le particelle sono fermioni, il sistema è un
gas di Fermi degenere. La distribuzione di Fermi-Dirac a T ~ 0 riempie
tutti gli stati fino all’energia di Fermi ε_F, definita da:

ε_F = ℏ²2m(3π²n)^2/3  (gas di Fermi 3D)

L’energia del gas a T = 0 non è nulla come sarebbe classicamente: la pressione di
degenerazione di Fermi P_F = (2/3)(U/V) = (2/5)nε_F è non nulla
anche a temperatura zero. È quella pressione che impedisce il collasso gravitazionale delle
nane bianche (masse fino a 1.4 masse solari, limite di Chandrasekhar).

Il calore specifico a T ≪ T_F (è T_F = ε_F/k_B):
C_V^el = (π²/2) Nk_B (T/T_F) ≪ (3/2)Nk_B.
Rispetto al valore classico, il calore specifico elettronico è ridotto di un fattore T/T_F
— per i metalli a 300 K circa 1/100. Questo spiega perché gli elettroni di conduzione
contribuiscono poco al calore specifico dei metalli a temperatura ambiente.

Gas di Bose degenere e BEC

Per i bosoni, quando nΛ³ aumenta, il potenziale chimico si avvicina al valore
del livello fondamentale ε₀. Quando μ → ε₀, la
distribuzione di Bose-Einstein diverge per quello stato: la condensazione di Bose-Einstein
è imminente. La temperatura critica per un gas di bosoni ideali 3D è quella in
cui nΛ³ = ζ(3/2) ≈ 2.612, dove ζ è la funzione zeta di Riemann.

Correzioni quantistiche all’equazione di stato

Nel regime intermedio (nΛ³ non piccolo ma non grandissimo), si possono calcolare
le correzioni quantistiche alla pressione:

p = Nk_BTV⋅(1 ± nΛ³2^5/2)  (+ per FD, − per BE)

Il segno + per i fermioni (pressione più alta del classico: la degenerazione li
«respinge») e il segno − per i bosoni (pressione più bassa: la
tendenza a condensare li «attrae»). Queste correzioni diventano importanti
quando nΛ³ ~ 0.1–1, cioè gas densi e leggeri a bassa temperatura.

Riepilogo: regimi del gas ideale

Domande frequenti

Che cos’è la lunghezza d’onda termica di de Broglie?

È h/√(2πmk_BT): la lunghezza d’onda di de Broglie associata
all’energia termica k_BT di una particella di massa m. Quando Λ supera
la distanza media tra particelle (n^−1/3), le funzioni d’onda si sovrappongono
e gli effetti quantistici diventano importanti.

Quando un gas è considerato classico?

Quando nΛ³ ≪ 1, cioè quando la lunghezza d’onda termica è molto
minore della distanza interparticellare. Fisicamente: alte temperature, basse densità,
particelle pesanti. In quelle condizioni sia la distribuzione FD sia la BE si riducono alla
distribuzione classica di Maxwell-Boltzmann.

Che cos’è il gas di Fermi degenere?

È un sistema di fermioni in cui nΛ³ ≫ 1: a T ~ 0 tutti gli stati
fino all’energia di Fermi ε_F sono pieni. La pressione di degenerazione non è
nulla neppure a T = 0; il calore specifico è proporzionale a T (molto minore del classico).
Esempi: elettroni di conduzione nei metalli, materia nei nuclei stellari e nelle nane bianche.

Come si calcola la temperatura critica per la BEC?

Si impone nΛ³(T_c) = ζ(3/2) ≈ 2.612. Risolvendo per T:
T_c = (h²/2πmk_B)(n/ζ(3/2))^2/3.
Per gas di Rb-87 in trappola magnetica con n ~ 10²⁰ m⁻³, si ottiene
T_c ~ 100–200 nK, in accordo con gli esperimenti del 1995.

Perché la nana bianca non collassa?

Il collasso gravitazionale sarebbe fermato dalla pressione di degenerazione di Fermi degli
elettroni: anche a T = 0 il gas di elettroni ha pressione non nulla (ε_F ~ MeV).
Per masse stellari superiori al limite di Chandrasekhar (1.4 M_Sol), la pressione
di degenerazione non basta a contenere la gravità e la stella collassa in una stella
di neutroni o in un buco nero.