Statistiche quantistiche: Bose-Einstein e Fermi-Dirac

Le particelle quantistiche sono indistinguibili e devono rispettare simmetrie
precise nella funzione d’onda. Da quel vincolo elementare nascono due statistiche radicalmente diverse:
quella di Fermi-Dirac per i fermioni (spin semi-intero), che non possono condividere
uno stato, e quella di Bose-Einstein per i bosoni (spin intero), che possono
accumularsi nello stesso stato senza limiti. Capire queste distribuzioni significa capire
metalli, laser, superconduttori e condensati atomici.

Indistinguibilità e simmetria della funzione d’onda

In meccanica quantistica, scambiare due particelle identiche non produce uno stato fisicamente
nuovo (il quadrato del modulo della funzione d’onda non cambia). Tuttavia la funzione d’onda stessa
può rispondere in due modi allo scambio:

• Bosoni (spin intero: 0, 1, 2, …): funzione d’onda simmetrica; lo scambio lascia
  Ψ immutata. Non c’è limite all’occupazione di uno stato: n_r ∈ {0, 1, 2, …}.
• Fermioni (spin semi-intero: 1/2, 3/2, …): funzione d’onda antisimmetrica;
  lo scambio cambia il segno di Ψ. Se due fermioni fossero nello stesso stato, lo scambio
  darebbe Ψ = −Ψ, cioè Ψ = 0: è il principio di esclusione di Pauli.
  L’occupazione è binaria: n_r ∈ {0, 1}.

Numeri di occupazione medi: le tre distribuzioni

Usando il formalismo grancanonico e derivando rispetto a ε_r,
si ottengono le statistiche di occupazione per i tre casi:

Fermi-Dirac (fermioni):

⟨n_r⟩_FD = 1e^{β(ε_r − μ)} + 1

Bose-Einstein (bosoni con μ < ε_r per tutti gli r):

⟨n_r⟩_BE = 1e^{β(ε_r − μ)} − 1

Maxwell-Boltzmann (limite classico, alta T o bassa densità):

⟨n_r⟩_MB = e^{−β(ε_r − μ)}  (limite classico)

La distribuzione di Fermi-Dirac in dettaglio

Per i fermioni, ⟨n_r⟩ varia tra 0 e 1. A T = 0 K tutti gli stati
con ε_r < μ sono pieni (⟨n⟩ = 1) e tutti quelli con
ε_r > μ sono vuoti (⟨n⟩ = 0): la distribuzione è un
gradino a scalino nel punto ε = μ, detto energia di Fermi ε_F.
A temperatura finita il gradino si ammorbidisce su una finestra energetica dell’ordine di k_BT
intorno a ε_F: solo una minoranza di elettroni può essere eccitata termicamente,
spiegando perché il calore specifico degli elettroni nei metalli è molto minore di
quanto prevede il teorema classico di equipartizione.

La distribuzione di Bose-Einstein e la condensazione

Per i bosoni non c’è limite all’occupazione di uno stato. Quando la temperatura scende,
il potenziale chimico μ sale verso il valore del livello fondamentale ε₀.
Quando μ raggiunge ε₀ la distribuzione di Bose-Einstein diverge per lo
stato fondamentale: un numero macroscopico di particelle si accumula nel livello più basso.
Questa è la condensazione di Bose-Einstein (BEC), predetta da Bose e
Einstein nel 1924–1925 e realizzata sperimentalmente con atomi di rubidio nel 1995
(Nobel per la fisica 2001). La temperatura critica è:

T_c = h²2πmk_B⋅(nζ(3/2))^2/3  (ζ(3/2) ≈ 2.612)

Per gli atomi di Rb-87 a densità tipiche di trappola, T_c è dell’ordine
di 100 nK — vicino allo zero assoluto.

Il limite classico di Maxwell-Boltzmann

Quando e^{β(ε_r−μ)} ≫ 1 (alta T o bassa densità),
sia la distribuzione FD sia la BE approssimano la Maxwell-Boltzmann:
⟨n_r⟩ ~ e^{−β(ε_r−μ)}.
Questa condizione corrisponde al regime classico: le indistinguibilità quantistiche
non si fanno sentire e la statistica è quella di Boltzmann. Come vedremo nell’articolo
sul gas quantistico, la condizione si esprime come nΛ³ ≪ 1,
dove Λ è la lunghezza d’onda termica di de Broglie.

Riepilogo: le tre statistiche

Domande frequenti

Che cos’è il principio di esclusione di Pauli?

Afferma che due fermioni non possono occupare lo stesso stato quantico (stessi numeri quantici
incluso lo spin). Deriva dall’antisimmetria della funzione d’onda fermioniche: se due fermioni fossero
nello stesso stato, la funzione d’onda dovrebbe essere uguale al suo opposto, quindi nulla. È il
principio che governa la struttura elettronica degli atomi e la stabilità della materia.

Perché i fotoni sono bosoni con μ = 0?

I fotoni hanno spin 1 (bosoni). Il loro numero non è conservato: un fotone può
essere assorbito e ri-emesso. La conservazione del numero di particelle non è un vincolo;
questo implica ∂F/∂N = 0, cioè μ = 0. La distribuzione di Bose-Einstein con
μ = 0 diventa la distribuzione di Planck n_r = 1/(e^hν/k_BT−1),
che descrive lo spettro del corpo nero.

Che cos’è la condensazione di Bose-Einstein?

È la transizione di fase in cui una frazione macroscopica di bosoni si accumula nel
livello energetico più basso. Avviene quando la temperatura scende sotto T_c
e μ raggiunge il livello fondamentale. Il condensato è una fase della materia con
proprietà quantistiche macroscopicamente coerenti (superfluidità, laser atomici).

Come si riduce la statistica FD alla MB?

Quando e^β(ε−μ) ≫ 1, il termine ±1 al denominatore diventa
trascurabile: sia FD sia BE diventano e^{−β(ε−μ)}, cioè
la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Fisicamente: ad alta T (o bassa densità) gli stati
sono talmente numerosi rispetto alle particelle che ogni stato è occupato in media molto
meno di 1; la statistica quantistica cede a quella classica.

Qual è la differenza tra bosone e fermione in termini pratici?

Fermioni: elettroni, protoni, neutroni, quarks — le particelle che compongono la materia.
Il principio di Pauli impedisce loro di collassare tutti nello stesso stato: è ciò che
dà volume agli atomi e stabilità al nucleo. Bosoni: fotoni, gluoni, bosone di Higgs,
è la classe delle particelle mediatrici di forze. I bosoni compositi (&sup4;He, molecole
di Cooper nei superconduttori) mostrano condensazione e coerenza quantistica macroscopica.