La legge di Bragg e la diffrazione dei raggi X

All’inizio del Novecento, padre e figlio Bragg si accorsero che i raggi X, fatti incidere su un cristallo, ne uscivano solo in direzioni precise, formando una geometria di macchie regolari. Da quell’osservazione nacque una semplice equazione che lega l’angolo dei fasci alla distanza tra i piani atomici — la legge di Bragg — e con essa la possibilità di «vedere» la disposizione degli atomi. È lo strumento che ha rivelato la struttura del DNA, dei metalli, dei minerali e dei farmaci.

Vediamo perché i raggi X sono adatti a studiare i cristalli, che cosa afferma la legge di Bragg e come da un angolo misurato si risale alle distanze tra i piani atomici.

Perché i raggi X

Per «vedere» qualcosa, la lunghezza d’onda della radiazione usata deve essere paragonabile alle dimensioni dell’oggetto. Le distanze tra gli atomi nei cristalli sono dell’ordine di 0,1-0,3 nanometri (qualche ångström), esattamente la lunghezza d’onda dei raggi X. La luce visibile, con onde migliaia di volte più lunghe, è del tutto inadatta. Inviando raggi X su un cristallo, gli elettroni degli atomi li diffondono in tutte le direzioni; ma è solo quando queste onde diffuse si sommano in fase — interferenza costruttiva — che emerge un fascio diffratto misurabile.

La legge di Bragg

William Lawrence Bragg interpretò la diffrazione in modo geometrico e intuitivo: immaginò i piani atomici del cristallo come specchi semitrasparenti che «riflettono» i raggi X. I raggi riflessi da due piani successivi, distanti d, percorrono cammini diversi: quello che si riflette sul piano più profondo fa un tratto in più, lungo esattamente 2d·sinθ, dove θ è l’angolo tra il raggio e il piano. Le onde si rinforzano (interferenza costruttiva) solo se questo cammino extra è un multiplo intero della lunghezza d’onda λ. Da qui la legge di Bragg:

nλ = 2d sin θ

dove n è un numero intero (l’ordine di diffrazione), λ la lunghezza d’onda dei raggi X, d la distanza tra i piani e θ l’angolo di incidenza (misurato dal piano, non dalla normale). La condizione è severa: solo per particolari angoli θ la legge è soddisfatta, ed è per questo che il fascio diffratto esce solo in direzioni discrete e ben definite.

Dalla misura alla struttura

La potenza della legge di Bragg sta nel poterla «invertire»: se conosciamo la lunghezza d’onda dei raggi X (che scegliamo noi, usando per esempio la radiazione del rame) e misuriamo gli angoli θ a cui compaiono i fasci diffratti, possiamo calcolare le distanze d tra i piani atomici.

d = nλ2 sin θ

Ogni famiglia di piani (hkl) dà un fascio a un proprio angolo, e quindi una propria distanza d. Misurando molti angoli si ricostruisce l’intera geometria della cella e, con analisi più raffinate sulle intensità dei fasci, le posizioni esatte degli atomi al suo interno. È così che la diffrazione dei raggi X è diventata il metodo principe per determinare le strutture cristalline.

Non solo raggi X: neutroni ed elettroni

Lo stesso principio di diffrazione vale per qualunque radiazione con lunghezza d’onda paragonabile alle distanze atomiche. I neutroni, prodotti in grandi impianti, diffrangono dai nuclei e sono particolarmente utili per «vedere» gli atomi leggeri (come l’idrogeno) che i raggi X faticano a rilevare, perché questi ultimi interagiscono con gli elettroni. Gli elettroni, usati nei microscopi elettronici, hanno una lunghezza d’onda ancora più corta e diffrangono fortemente, permettendo di studiare cristalli minuscoli e film sottili. Raggi X, neutroni ed elettroni sono quindi tre «sonde» complementari, tutte governate dalla stessa legge di Bragg.

Perché conta nella pratica

La legge di Bragg è il principio che sta dietro a ogni diffrattometro a raggi X, lo strumento con cui oggi si identificano fasi cristalline, si controllano materie prime, si verifica la forma polimorfa di un farmaco e si caratterizzano metalli e ceramici. Capire questa semplice equazione significa capire che cosa misura davvero un’analisi XRD: non «la composizione», ma la geometria del reticolo, da cui poi si risale all’identità della sostanza. Per chi lavora in un laboratorio di controllo qualità, è la chiave per interpretare correttamente un diffrattogramma e dialogare con chi esegue le analisi strutturali.

Accanto ai raggi X, per vedere gli atomi leggeri e il magnetismo si usa la diffrazione di neutroni.

Domande frequenti

Che cosa afferma la legge di Bragg?

Afferma che un cristallo diffrange i raggi X solo ad angoli precisi, dati dalla relazione nλ = 2d·sinθ, dove λ è la lunghezza d’onda, d la distanza tra i piani atomici, θ l’angolo di incidenza e n un intero. Solo a questi angoli le onde riflesse dai piani successivi si sommano in fase, generando un fascio diffratto osservabile.

Perché si usano i raggi X e non la luce visibile?

Perché per «vedere» gli atomi serve una radiazione con lunghezza d’onda paragonabile alle distanze interatomiche, dell’ordine di un decimo di nanometro. I raggi X hanno proprio questa lunghezza d’onda, mentre la luce visibile è migliaia di volte più «grossolana» e non potrebbe risolvere il dettaglio della struttura cristallina.

Che cos’è l’angolo θ nella legge di Bragg?

È l’angolo tra il raggio X incidente e il piano atomico che lo riflette (non la normale al piano). Attenzione: negli strumenti si misura di solito l’angolo 2θ, cioè quello tra fascio incidente e fascio diffratto. Per questo i diffrattogrammi riportano 2θ in ascissa, ed è un errore comune confondere i due.

Come si ricava la struttura da una diffrazione?

Misurando gli angoli a cui compaiono i fasci diffratti e applicando la legge di Bragg si calcolano le distanze d tra i piani; da molte di queste distanze si ricostruisce la geometria della cella. Analizzando poi le intensità dei fasci si determinano le posizioni dei singoli atomi. È il metodo principale per risolvere le strutture cristalline.

Chi ha formulato la legge di Bragg?

William Lawrence Bragg, insieme al padre William Henry Bragg, nei primi anni ’10 del Novecento. La loro interpretazione geometrica della diffrazione dei raggi X valse il premio Nobel per la fisica nel 1915 e aprì la strada alla determinazione delle strutture cristalline, dalla salgemma fino alle grandi molecole biologiche.